Enunciado

Para a refração em uma interface esférica, a primeira distância focal f é definida como o valor de s correspondnente a s ' = ∞ , como na figura (a). A segunda distância focal f ' é defnida como o valor de s ' correspondente a s = ∞ , como indicado na figura (b). (a) Prove que a relação geral entre a distância do objeto e a distância da imagem é dada por

f s + f ' s ' = 1

Passo 1

A fórmula para a refração no caso da interface esférica é a seguinte:

n a s + n b s ' = n b - n a R

No primeiro caso, as variáveis vão ter esses valores aqui:

s = f s ' = ∞

Então:

n a f + n b ∞ = n b - n a R

E no segundo caso os valores são:

s = ∞ s ' = f '

Ou seja:

n a ∞ + n b f ' = n b - n a R

Beleza, isso dá um sistema de duas equações que a gente pode resolver pra achar aquelas identidades:

n a f + n b ∞ = n b - n a R n a ∞ + n b f ' = n b - n a R

Os termos que tem “infinito” no denominador vão sumir:

n a f = n b - n a R n b f ' = n b - n a R

Passo 2

(a) Nosso primeiro objetivo é provar que:

n a n b = f f '

Essa é fácil, só temos que dividir uma equação pela outra no nosso sistema:

n a / f n b / f ' = n b - n a / R n b - n a / R

n a / f n b / f ' = 1

n a n b = f f '

Beleza, demonstrado.

Passo 3

(b) E a última tarefa é provar essa relação aqui:

f s + f ' s ' = 1

E o truque pra fazer isso é o seguinte: primeiro a gente volta lá na equação original:

n a s + n b s ' = n b - n a R

E aí a gente substitui n a usando a fórmula que a foi provada ali em cima (poderia substituir n b também):

n a n b = f f '         ⇒           n a = n b f f '

Então:

n b f f ' s + n b s ' = n b - n b f f ' R

n b f s f ' + n b s ' = n b R 1 - f f '

Já dá pra cortar n b dos dois lados:

f s f ' + 1 s ' = 1 R 1 - f f '

Agora vamos multiplicar os dois lados por f ' :

f s + f ' s ' = 1 R f ' - f

Passo 4

Pra sair dessa situação, vamos voltar lá no nosso sistema:

n a f = n b - n a R n b f ' = n b - n a R

Reorganizando ele um pouco:

f = n a n b - n a R f ' = n b n b - n a R

Fazendo a segunda equação menos a primeira:

f ' - f = n b n b - n a R - n a n b - n a R

f ' - f = n b - n a n b - n a R = R

Ótimo, agora é só substituir isso na equação lá de cima:

f s + f ' s ' = 1 R f ' - f

f s + f ' s ' = 1 R R

f s + f ' s ' = 1

Pronto! Demonstramos o que o enunciado pediu.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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