Enunciado

Relacione δ no Probl. 6 com n e θ 1 , no caso geral (sem supor α e θ 1 pequenos), e mostre que δ é mínimo quando o ângulo de emergência θ 1 ' (fig. abaixo)

é igual a θ 1 . Mostre que, quando isso acontece, vale a relação

n = sen ⁡ 1 2 δ + α   sen ⁡ α 2

onde δ é o ângulo de desvio mínimo. Essa relação é empregada para medições precisas do indice de refração n .

Passo 1

Vamos lá.

Do problema 6, temos que

δ = θ 1 ' + θ 1 - α

Onde

α = θ 2 ' + θ 2

Vamos aplicar a lei de snell na interface do lado direito entre o prisma e o ar.

n sen ⁡ θ 2 ' = n 1 sen ⁡ θ 1 '

Supondo que o prisma está no ar, n 1 = 1   então

n sen ⁡ θ 2 ' = sen ⁡ θ 1 '

θ 1 ' = a r c s e n ( n sen ⁡ θ 2 ' )

Mas, tínhamos que

α = θ 2 ' + θ 2

θ 2 ' = α - θ 2

Então

θ 1 ' = a r c s e n n sen ⁡ θ 2 '

θ 1 ' = a r c s e n n sen ⁡ ( α - θ 2 )

Pela regra da soma de arcos, temos

sen ⁡ α - θ 2 = sen ⁡ α cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ α

Beleza, guarda isso aí. Vamos aplicar a lei de snell na interface esquerda, agora.

n 1 sen ⁡ θ 1 = n sen ⁡ θ 2

1 sen ⁡ θ 1 = n sen ⁡ θ 2

sen ⁡ θ 2 = sen ⁡ θ 1 n

Ok, vamos substituir esse valor na equação ali de cima:

sen ⁡ α - θ 2 = sen ⁡ α cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ α

sen ⁡ α - θ 2 = sen ⁡ α cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1 n cos ⁡ α

Usando a relação trigonométrica fundamental, temos que

sen ⁡ α - θ 2 = sen ⁡ α 1 - sen 2 ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1 n cos ⁡ α

sen ⁡ α - θ 2 = sen ⁡ α 1 - sen 2 ⁡ θ 1 n 2 - sen ⁡ θ 1 n cos ⁡ α

Arrumando:

sen ⁡ α - θ 2 = 1 n sen ⁡ α n 2 - sen 2 ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 cos ⁡ α

Então o θ 1 ' fica:

θ 1 ' = a r c s e n n sen ⁡ α - θ 2

θ 1 ' = a r c s e n n 1 n sen ⁡ α n 2 - sen 2 ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 cos ⁡ α

θ 1 ' = a r c s e n sen ⁡ α n 2 - sen 2 ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 cos ⁡ α

Mas como vimos, do problema 6, temos

δ = θ 1 ' + θ 1 - α

δ = a r c s e n sen ⁡ α n 2 - sen 2 ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 cos ⁡ α + θ 1 - α

O enunciado disse que quando δ ´minimo, temos θ 1 = θ 1 ' , logo:

δ = 2 θ 1 - α

Então

θ 1 = δ + α 2  

Como já vimos, aplicando a lei de snell na interfae esquerda do prisma, temos:

n 1 sen ⁡ θ 1 = n sen ⁡ θ 2

1 sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 = n

Substituindo o θ 1 :

sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 = n

sen ⁡ δ + α 2 sen ⁡ θ 2 = n

E como já vimos do exercício 6, temos

α = θ 2 + θ 2 '

E

θ 2 = α 2

sen ⁡ δ + α 2 sen ⁡ α 2 = n

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em um laboratório de física, a luz de comprimento de onda igual a 490n m atravessa o ar de um laser até uma fotocélula em 17,0n s . Quando um bloco de vidro de 0,840m de espessura é colocado sob o fei
Um raio de luz proveniente do ar incide sobre um bloco de um material sólido transparente cujo indice de refração é n . Sabendo que n = 1,38 , qual deve ser o maior ângulo de incidência θ a para que o
A luz que atravessa um material de indice de refração n 1 incide com um ângulo θ 1 , em relação à normal sobre a interface com um bloco de material que possui lados paralelos e índice de refração n 2
Uma placa de vidro com espessura de 2.50m m e um índice de refração de 1,40 é colocada entre uma tela e uma fonte de luz puntiforme de comprimento de onda igual a 540n m (no vácuo). A distância entre
Você olha para dentro de um recipiente de vidro com paredes verticais de modo que o seu olhar vá da borda superior até a extremidade oposta no fundo (Figura 33.48a). O recipiente é um cilindro oco com