Enunciado

Um relógio é colocado em um satélite que orbita a Terra com um período orbital de 90 min. Em que intervalo de tempo esse relógio será diferente de um relógio idêntico na Terra após 1,0 y? (Suponha que a relatividade especial se aplique e negligencie a relatividade geral.)

Passo 1

Fala aee, tudo bem por aí?? Mais um exercício, vamos lá!

Bom, por conta do seu movimento, o relógio orbital funcionará mais lentamente do que o relógio terrestre.

Podemos usar a terceira lei de Kepler para encontrar o raio da órbita do satélite em termos de seu período, a definição de velocidade para encontrar a velocidade orbital do satélite a partir do raio de sua órbita e a equação de dilatação do tempo para encontrar a diferença δ entre as leituras dos dois relógios. Ok??

Passo 2

A diferença entre os tempos dos relógios será:

δ = ∆ t - ∆ t p

Como ∆ t p = ∆ t / γ :

δ = ∆ t - ∆ t γ = ∆ t 1 - 1 γ

Vamos dar uma recapitulada numa das aproximações do exercício 10, em que, como v ≪ c :

1 γ ≈ 1 - 1 2 v 2 c 2

Substituindo isso:

δ = ∆ t 1 - 1 + 1 2 v 2 c 2

δ = 1 2 v 2 c 2 ∆ t

Passo 3

Show!! Agora, vamos escrever o quadrado da velocidade do satélite em sua órbita:

v 2 = 2 π r T 2 = 4 π 2 r 2 T 2

Onde T é o período e r é o raio da órbita circular. E o período, podemos relacionar com o raio pela terceira lei de Kepler:

T 2 = 4 π 2 G M T r 3 = 4 π 2 g R T 2 r 3

Isolando r :

r 3 = g R T 2 T 2 4 π 2

r = g R T 2 T 2 4 π 2 3

Substituindo os valores:

r = 9,81   m / s 2 6370 × 10 3   m 2 ( 90   m i n × 60 s / m i n ) 2 4 π 2 3

r = 6,65 × 10 6   m

Agora, podemos substituir isso na equação da velocidade:

v 2 = 4 π 2 ( 6,65 × 10 6   m ) 2 ( 90   m i n × 60 s / m i n ) 2

v 2 = 5,99 × 10 7   m 2 / s 2

Passo 4

Opa, esse valor da velocidade ao quadrado era o que faltava para achar a diferença de tempos:

δ = 1 2 v 2 c 2 ∆ t

δ = 1 2 5,99 × 10 7 m 2 s 2 2,998 × 10 8 m s 2 ( 1   a × 31,56 × 10 6   s / a )

δ = 11   m s

Prontinho!! Acabou!

Resposta

11   m s

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