Enunciado

Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 0 ° C para 100 ° C , o comprimento aumenta de 0,23 % . ( a ) Determine a variação percentual da massa específica ( b ) De que metal é feito o cilindro? Consulte tabela 18 - 2 .

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Essa questão parece complicada, mas vamos ver se ela é isso tudo mesmo!

Primeiro vamos pensar sobre massa específica. A massa específica é a razão entre a massa de uma porção e o volume ocupado por ela. Então se queremos saber o aumento percentual da massa específica ( μ = m / V ) , devemos relacionar o aumento percentual do volume, pois a massa não é alterada.

Para isso vamos olhar com mais carinho os dados que o problema trás. O enunciado fala sobre o aumento percentual do comprimento de 0,23 % , ou seja, em termos matemáticos:

Δ L L 0 = 0,23 %

Sabemos também que a fórmula de expansão linear é dada por:

Δ L = L 0 α Δ T

Então podemos relacionar as duas informações:

Δ L L 0 = α Δ T = 0,23 %

Δ L L 0 = 0,23 100

Você pode se perguntar o que isso tem a ver com o aumento percentual do volume?

A malandragem aqui é a gente lembrar que o coeficiente de expansão volumétrica é o triplo do coeficiente linear. Então, ta aí a relação entre as duas! Já que queremos saber Δ μ / μ 0 , que por sua vez se relaciona com o volume, vai ser importante determinar esse coeficiente. Mas calma, vamos por partes =)

Passo 2

Vamos determinar esse aumento percentual na massa específica para ficar mais claro onde queremos chegar.

Saindo da fórmula do aumento do volume, temos:

Δ V = V 0 γ Δ T  

Então:

∆ V V 0 = 3 α Δ T

∆ V V 0 = 0,69 100

E como queremos Δ μ / μ 0 , vamos usar a relação com a massa e o volume, tal que:

Δ μ μ 0 = m V - m V 0 μ 0

Δ μ μ 0 = m V 0 - V V V 0 μ 0

Como ∆ V = V - V 0 , teremos que V 0 - V = - ∆ V :

Δ μ μ 0 = - m ∆ V V V 0 μ 0

E como μ 0 = m V 0 e a variação do volume será muuuito muito muito pequena, podemos usar toda malandragem do mundo e fazer a aproximação V ≈ V 0 , sendo assim, segue que:

Δ μ μ 0 = - μ 0 ∆ V V 0 μ 0

Δ μ μ 0 = - ∆ V V 0

Mas já vimos o valor desse cara ali em cima, então:

Δ μ μ 0 = - ∆ V V 0

Δ μ μ 0 = - 0,69 %

Certinho, então bora passar pra letra (b).

Passo 3

Para saber de que é feito o cilindro, voltamos a fórmula de expansão linear:

Δ L = L 0 α Δ T

Podemos reescrever ela da seguinte forma:

L - L 0 = L 0 α Δ T

L = L 0 ( 1 + α Δ T )

Sabendo que o aumento foi de 0,23 % , então L = 1,0023 L 0 e que a variação de temperatura foi de 100 ° C , temos:

1,0023 L 0 = L 0 ( 1 + 100 α )

0,0023 100 = α

Logo:

α = 23 × 10 - 6   / ° C

E olhando na tabela indicada, concluímos que o cilindro é feito de alumínio.

Bom estudos galera! Bora fazer mais uma?

Resposta

  1. Δ μ μ 0 = - 0,69 %
  2. Alumínio
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