Enunciado

Seja   A → = ( 3,0   m ,   20 °   s u d e s t e ) ,   B → = ( 2,0   m ,   n o r t e ) e   C → = ( 5,0   m , 70 °   s u d o e s t e ) .

  1. Faça um desenho dos vetores, com suas caudas na origem, e nomeie cada um deles. Use um sistema de coordenadas com o eixo x apontando para o leste.
  2. Expresse os vetores em termos dos componentes, usando vetores unitários.
  3. Encontre o módulo e a orientação de   D → =   A → + B → + C →

Passo 1

  1. Faça um desenho dos vetores, com suas caudas na origem, e nomeie cada um deles. Use um sistema de coordenadas com o eixo x apontando para o leste.
  2. Primeiro vamos ver quem é esse sistema de coordenadas que tem o eixo x apontando para o leste:

    É aquele que já estamos acostumados. UFAAA!!

    Passo 2

    Agora, vamos desenhar esses vetores lindinhos:

    Vetores desenhadinhos!! Vetor   A → está a 20 ° sudeste, então forma esse ângulo com o semi-eixo x positivo. Vetor   B → apontando pro Norte, ou seja, na direção do eixo y , então forma um ângulo de 90 ° eixo x .Vetor   C → está a 70 ° sudoeste, então forma esse ângulo com o semi-eixo x negativo.

    Passo 3

  3. Expresse os vetores em termos dos componentes, usando vetores unitários.

Primeiro precisamos lembrar quem são esses vetores unitários que a questão está falando.

Os vetores unitários i ^ , j ^ , são vetores que indicam a direção dos eixos x e y , respectivamente, no plano cartesiano. Então, se eu digo que um vetor   v → = ( 2 i ^ + 4 j ^ ) , eu quero dizer que sua componente no eixo x , v x , vale 2 e sua componente no eixo y , v y , vale 4, okay?

Sabendo disso, precisamos descobrir as componentes de cada um dos três vetores e vamos usar aquele macetinho esperto:

A componente que está COlada com o ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o COsseno do ângulo. Já a componente que está SEparada do ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o SEno do ângulo.

Para o vetor   A → :

A x = A   c o s   20 °

A y = - A sen ⁡ 20 °

Nota que para a componente y tem um sinal de negativo acompanhando. Esse sinal é pra indicar que essa componente está apontando no sentido contrário ao sentido do eixo y .

A questão nos forneceu o módulo:

A = 3,0   m

E temos que:

sen ⁡ 20 ° = 0,34

c o s   20 ° = 0,94

Então, temos que:

A x = 2,8   m

A y = - 1,0   m

Escrevendo em termos de i ^ e j ^ :

A → = 2,8 i ^ - 1,0 j ^   m

Agora temos que fazer a mesma coisa para os outros dois vetores.

Passo 2

Para o vetor   B → :

B x = B   c o s   9 0 °

B y = B sen ⁡ 9 0 °

A questão nos forneceu o módulo:

B = 2 , 0   m

E temos que:

sen ⁡ 9 0 ° = 1

c o s   9 0 ° = 0

Então, temos que:

B x = 0   m

B y = 2,0   m

Escrevendo em termos de i ^ e j ^ :

B → = ( 2,0 j ^ )   m

Agora só falta o vetor   C → :

C x = - C   c o s   7 0 °

C y = -   C sen ⁡ 7 0 °

Nota que para as componentes x e y tem um sinal de negativo acompanhando. Esse sinal é pra indicar que essa componentes estão apontando no sentido contrário ao sentido do eixo x e y .

A questão nos forneceu o módulo:

C = 5 , 0   m

E temos que:

sen ⁡ 7 0 ° = 0,94

c o s   7 0 ° = 0,34

Então, temos que:

C x = - 1,7   m

C y = -   4,7   m

Escrevendo em termos de i ^ e j ^ :

C → = ( - 1,7 i ^ - 4,7 j ^ )   m

Passo 3

  1. Encontre o módulo e a orientação de   D → =   A → + B → + C →

Primeiro vamos encontrar quem é o vetor   D → .

O vetor   D → é uma soma entre os vetores A → , B → e   C → . Como já conhecemos esses três vetores, porque encontramos eles em termos das componentes na letra b, para encontrarmos o vetor   D → basta somarmos as componentes desses três vetores:

D →     = A → + B → + C → = 2,8 i ^ - 1,0 j ^ + 2,0 j ^ + - 1,7 i ^ - 4,7 j ^

D → = 1,1 i ^ - 3,7 j ^   m

Passo 4

Agora que encontramos quem é o vetor   D → em termos de suas componentes, precisamos lembrar de algumas coisinhas antes de continuarmos:

O módulo de um vetor   v → é dado por:

v = v x 2 + v y 2

Só precisamos saber de mais uma coisinha. Quando a questão está nos pedindo a orientação do vetor, ela está querendo saber qual o ângulo que o vetor faz com um dos eixos da sua escolha, mas lembra que esse eixo deve estar bem especificado beleza?

Da uma olhada aqui:

O vetor   v → faz um ângulo θ acima do semi-eixo x positivo. É essa informação que a questão quer saber quando nos pede a orientação.

Mas precisamos saber exatamente quem é esse ângulo θ . Levando em consideração sempre o ângulo que o vetor faz com o eixo x , podemos usar a seguinte fórmula para achar o ângulo:

θ = a r c t g   v y v x

Foi?? Agora estamos prontos pra resolver

Passo 5

Como já conhecemos as componentes do vetor   D → , vamos calcular o módulo:

D = D x 2 + D y 2

D = 1 , 1 2 + - 3,7 2

D = 3,9   m

Agora vamos calcular o θ que ele faz com o eixo x :

θ = a r c t g   D y D x

θ = a r c t g   3,7 1 , 1

θ = 73,4 °

O vetor   D → está no quarto quadrante porque a sua componente x é positiva, enquanto a componente y é negativa:

Então, esse ângulo calculado é o ângulo que ele faz com o semi-eixo x positivo.

Então, temos que o vetor   D → tem módulo igual a 3,9   m e está à 73,4 ° abaixo do semi-eixo x positivo.

Resposta

  1. A → = 2,82 i ^ - 1,02 j ^   m ; B → = ( 2,0 j ^ )   m ; C → = ( - 1,7 i ^ - 4,7 j ^ )   m
  2. O vetor   D → tem módulo igual a 3,9   m e está à 73,4 ° abaixo do semi-eixo x positivo.
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