Enunciado

Uma pá do rotor de um helicóptero é homogênea, tem 7,80   m de comprimento, urna massa de 110   k g e está presa ao eixo do rotor por um único parafuso. (a) Qual é o módulo da força exercida pelo eixo sobre o parafuso quando o rotor está girando a 320   r e v / m i n ? (Sugestão: para este cálculo, a pá pode ser considerada urna massa pontual localizada no centro de massa. Por quê?) (b) Calcule o módulo do torque que deve ser aplicado ao rotor para que atinja a velocidade angular do item anterior, a partir do repouso, em 6,70   s . Ignore a resistência do ar. (A lâmina não pode ser considerada uma massa pontual para este cálculo. Por quê? Suponha que a distribuição de massa é a de urna barra fina homogênea.) (c) Qual é o trabalho realizado pelo torque sobre a pá para que a pá atinja a velocidade angular de 320   r e v / m i n ?

Passo 1

Então galera, de acordo com a Segunda Lei de Newton, a força centrípeta exercida sobre uma parte infinitesimal da pá, de massa d m , situada a uma distância r do eixo de rotação, é dada por d F   =   d m ω 2 r   e a velocidade angular é:

ω = 320 2 π 60 = 33,5   rad/s

Assim, chamando de M   e de   L a massa e o comprimento da pá, respectivamente, e levando em conta a relação d m   =   ( M / L )   d r , a força total a que está submetida a pá é:

F = ∫ d F

F = ∫ ω 2 r d m = M L ∫ 0 L ω 2 r d r  

F = M ω 2 L 2

Logo:

F = 110   kg 33,5   rad/s 7,8   m 2

F = 4,81 × 10 5   N

Passo 2

Bom pessoal, de acordo com a Tabela 10-2, o momento de inércia da pá em relação ao centro de massa é I   =   M L 2 / 12 . Quando usamos o teorema dos eixos paralelos para “transferir” o eixo de rotação para a extremidade da pá, o momento de inércia se torna I   =   M L 2 / 3 . De acordo com a Eq. 10-45, o torque é obtido pela relação:

τ = I α = M L 2 3 ∆ ω ∆ t

τ = 1 3 110   kg 7,8   m 2 33,5   rad/s 6,7   s

τ = 1 , 12 × 10 4   J

Passo 3

Bom galera, o trabalho realizado é dado por:

W = ∆ K

Tal que:

W = I ω 2 2 - 0

W = 1 2 M L 2 3 ω 2

Susbituindo os valores que o enunciado nos fornece, descobrimos que:

W = 1 6 110   kg 7,8   m 2 33,5   rad/s 2

W = 1,25 × 10 6 J

Resposta

  1. F = 4,81 × 10 5   N
  2. τ = 1 , 12 × 10 4   J
  3. W = 1,25 × 10 6   J

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

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