Enunciado

Quando uma pessoa fica na ponta de um pé (uma posição difícil), a posição do pé é como mostrada na Figura P10.69a. A força gravitacional total   F → g no corpo é suportada pela força normal   n → exercida pelo chão sobre os dedos de um pé. Um modelo mecânico da situação é mostrado na Figura P10.69b, onde   T → é a força exercida no pé pelo tendão de Aquiles e   R → é a força exercida no pé pela tíbia. Encontre os valores de T , R e θ quando F g   =   700   N .

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Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Observe que a força R (exercida no pé pela tíbia) foi substituída pela suas componentes horizontal e vertical. Empregando ambas as condições de equilíbrio (usando o ponto O como o ponto de pivô) temos as três seguintes equações:

Σ F x = 0 ⇒ Rsin ⁡ 15.0 ∘ - Tsin ⁡ θ = 0

R = Tsin ⁡ θ sin ⁡ 15.0 ∘                           1

Σ F y = 0 ⇒ 700 N - R cos ⁡ 15.0 ∘ + T cos ⁡ θ = 0                           2

Σ τ O = 0 ⇒ - 700 N 18.0 c m cos ⁡ θ + T 25.0 c m - 18.0 c m = 0

T = 1800 N cos ⁡ θ                         3

Passo 2

Substituindo a equação [3] na equação [1] temos:

R = 1800 N sin ⁡ 15.0 ∘ sin ⁡ θ cos ⁡ θ                   4

Substituindo as equações [3] e [4] na equação [2] temos:

1800 N tan ⁡ 15.0 ∘ sin ⁡ θ cos ⁡ θ - 1800 N cos 2 ⁡ θ = 700 N

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ 15.0 ∘ cos 2 ⁡ θ + 0.1042

Elevando ao quadrado este resultado e usando s i n 2 ⁡ θ = 1 - c o s 2 ⁡ θ , temos:

tan 2 ⁡ 15.0 ∘ + 1 c o s 4 ⁡ θ + 2 tan ⁡ 15.0 ∘ 0.1042 - 1 c o s 2 ⁡ θ + ( 0.1042 ) 2 = 0

Neste último resultado, seja u = c o s 2 ⁡ θ e avalie as constantes para obter a equação quadrática:

1.0718 u 2 - 0.9442 u + 0.0109 = 0

As soluções são u = 0.8693   e   u = 0.0117 , então:

θ = cos - 1 ⁡ 0.8693 = 21.2 ∘   ou   θ = cos - 1 ⁡ 0.0117 = 83.8 ∘

Passo 3

Vamos ignorar a inclinação 83.8 porque é humanamente impossível, então θ = 21.2 ∘

Então, da equação [3]:

T = 1800 N cos ⁡ 21.2 ∘ = 1.68 k N

E da equação [1]:

R = 1.68 × 10 3 N sin ⁡ 21.2 ∘ sin ⁡ 15.0 ∘ = 2.34 k N

Resposta

1.68 k N   e   2.34 k N

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