Enunciado

Um satélite está em órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A delimitada pela órbita é proporcional a r 2 , já que A = π r 2 . Determine a forma de variação com r das seguintes propriedades do satélite: (a) o período, (b) a energia cinética, (c) o momento angular e (d) a velocidade escalar.

Passo 1

Temos um satélite orbitando a Terra em condições normais.

A letra (a) pede o período em função do raio r . Essa é uma relação conhecida: a 3ª lei de Kepler!

T 2 = 4 π 2 G M r 3

Isolando o período, encontramos a resposta, pois todos os outros termos da igualdade (menos o raio r ) são constantes:

T =   4 π r 3 G M

Se usarmos o símbolo para representar “proporcional”, a resposta será:

T ∝ r 3 2

Onde lemos que o período T é proporcional a r 3 2 .

Passo 2

A letra (b) quer a energia cinética em função do raio r . Vamos dar uma olhada na fórmula para a energia cinética:

K = m v 2 2

Podemos melhorar isso substituindo v com a equação que descreve as órbitas:

v = G M r ⇒ v 2 = G M r

Substituindo isso na fórmula da energia cinética:

K = G M m 2 r

Seguindo o mesmo padrão de antes:

K ∝   r - 1

Passo 3

A letra (c) quer o momento angular em função do raio r . Esse é um conceito menos usado na gravitação, então vamos relembrar a fórmula para o momento angular L :

L = m r v

Obs.: Essa é a fórmula para o módulo do momento angular no caso de uma órbita circular, pois a velocidade é perpendicular ao vetor posição. (Não é uma fórmula geral)

Essa fórmula ainda não é boa o suficiente, porque v não é constante. Mas já vimos no passo anterior que dá pra reescrever ele sem problemas:

L = m r G M r = G M m   . r r = m G M r

Escrevendo da mesma forma que fizemos nas outras:

L ∝ r

Passo 4

Pra fechar, queremos relacionar a velocidade escalar ao raio. Mal sabe a questão que já fizemos isso várias vezes rsrs! Repetindo a fórmula:

v = G M r  

Ou seja, agora temos:

v ∝ 1 r

Resposta

(a) (período) T ∝ r 3 2  

(b) (energia cinética) K ∝ r - 1   .

(c) (momento angular) L ∝ r   ..

(d) (velocidade escalar) v ∝ 1 r   .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em 1610 , Galileu usou um telescópio que ele próprio havia cosntrúido para descobrir quatro satélites de Júpiter, cujos raios orbitais médios a e períodos T aparecem na tabela a seguir:(a) Plote log ⁡
Um asteroide, cuja massa é 2,0.10 - 4 vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução
Duas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 2000k g , estão na órbita circular em torno da Terra da figura, a uma altitude h de 400k m . Kirk, o comandante de uma das naves, chega a qualquer ponto f
Quais são (a) a velocidade e (b) o período de um satélite de 220k g em uma órbita aproximadamente circular 640k m acima da superfície da Terra? Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa