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Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 8,00   .   10 4   s em torno de um planeta de massa 7,00.10 24   k g . No afélio, a uma distância de 4,5   .   10 7   m do centro do planeta, a velocidade angular do satélite é 7,158.10 - 5   r a d / s . Qual é a velocidade angular do satélite no periélio?

Passo 1

Vamos lembrar que o “afélio” é o ponto de uma órbita em que o planeta está mais distante do sol.

Também sabemos que a velocidade angular nesse ponto é ω a f = 7,158   .   10 - 5   r a d / s .

Passo 2

Agora é difícil saber qual fórmula usar. Como a órbita é elíptica, a velocidade não é constante ao longo da trajetória, e por isso tudo fica mais difícil.

Mas veja, a questão deu uma distância e uma velocidade angular, isso sugere fortemente o uso da lei de conservação do momento angular.

L 1 = L 2 ⇒   I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Lembrando que I (o momento de inércia), é m r 2 , vamos escrever a equação no momento em que o planeta passa pelo afélio:

L 1 = m r 2 ω = 7.10 24 4,5.10 7 2 7,158.10 - 5 = 1,01.10 36   ( k g . m 2 / s )  

Passo 3

Agora precisamos nos lembrar de uma fórmula que relaciona o tamanho do periélio e do afélio (em outras palavras, os semi-eixos maior e menor da órbita).

r p e r i é l i o = 2 a - r a f e l i o

Onde a é o semi-eixo maior da elipse, e r a f e l i o = 4,5.10 7   m .

Precisamos obter agora o valor do semi-eixo maior, o que pode ser feito pela 3ª lei de Kepler:

T 2 = 4 π 2 a 3 G M

a 3 = T 2 G M 4 π 2 = 8.10 4 2 6,67.10 - 11 7.10 24 4 3,14 2

a = 8.10 4 2 6,67.10 - 11 7.10 24 4 3,14 2 3 = 4,2.10 7   m

Substituindo na fórmula anterior:

r p e r i é l i o = 2 4,2.10 7 - 4,5.10 7 = 3,9.10 7   m

Passo 4

Agora é só retomar a lei de conservação do momento angular:

1,01.10 36 = I 2 ω 2 = m r 2 ω

1,01.10 36 = 7,00.10 24 3,9.10 7 2 ( ω )

ω = 1,01.10 36 7,00.10 24 3,9.10 7 2 = 9,5   .   10 - 5   r a d / s

Pronto!

Resposta

A velocidade angular no periélio é 9,5   .   10 - 5   r a d / s .

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