Enunciado

Na seção 31-6 mostramos que o módulo do campo magnético para qualquer raio r no interior de um toróide é dado por

B = μ 0 i 0 N 2 π r

Mostre que, quando passamos de um ponto imediatamente dentro de um toróide para um ponto imediatamente fora, o módulo da variação em B que encontramos para qualquer raio r é exatamente μ λ . Aqui A é acorrente por unidade de comprimento ao longo de uma circunferência de raio r dentro do toróide. Compare com o resultado semelhante encontrado no Problema 58. Tal igualdade não é surpreendente?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Parece difícil, mas não é!

Considere um círculo de raio r , dentro do toróide e concêntrico com ele. A corrente que passa pela região entre este círculo e outro círculo de raio maior (bem fora do toróide) é

N i

onde N é o número de voltas e i é a corrente (observe que esta região inclui uma “fatia” da borda externa do toróide). A corrente por unidade de comprimento (do círculo) é

λ = N i 2 π r

e

µ 0 λ

é, portanto,

B 1 = µ 0 N i 2 π r

a magnitude do campo magnético no círculo.

Passo 2

Uma vez que o campo fora de um toróide (chame-o de B 2 ) é zero, o resultado acima também é a mudança na magnitude do campo encontrada quando você se move do círculo para fora (digamos, para o círculo de raio maior mencionado acima).

A igualdade não é realmente surpreendente à luz da lei de Ampere, particularmente se o caminho usado em ∮ B   d s for feito para conectar o círculo no toróide e o círculo de maior raio (ou partes de cada um deles, de comprimentos ∆ s 1 e ∆ s 2 ).

Os caminhos de conexão (cada um de tamanho ∆ r ) entre os círculos podem ser perpendiculares às linhas do campo magnético (de modo que B . s = 0 ). De fato, podemos manter os caminhos de conexão aproximadamente perpendiculares a B e conseguir ter ∆ s 1 = ∆ s 2 se nosso loop Amperiano for muito pequeno (especialmente se ∆ r for muito menor que o raio externo do toróide).

Passo 3

Simplificando nossa notação, a corrente através do loop é, portanto,

Δ s λ

então a lei de Ampere produz

B 1 - B 2 ∆ s = µ 0 ∆ s λ

E

B 2 - B 1 = µ 0 λ

O que isso demonstra é que a variação do campo magnético é µ 0 λ quando se move de um ponto a outro (na direção perpendicular ao campo) através de uma folha de corrente, este princípio é útil em qualquer discussão sobre condições de contorno em aplicações eletrodinâmicas.

Resposta

A lei de Ampere produz

B 2 - B 1 = µ 0 λ

O que isso demonstra é que a variação do campo magnético é µ 0 λ quando se move de um ponto a outro (na direção perpendicular ao campo) através de uma folha de corrente.

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