Enunciado

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Sejam duas máquinas térmicas conectadas em série, de tal forma que o calor liberado pela primeira máquina seja usado como o calor absorvido pela segunda, como mostrado na Figura 19-22. Suponha que cada máquina seja uma máquina térmica ideal e reversível. A máquina 1 opera entre as temperaturas T q   e   T m e a máquina 2 opera entre T m   e   f , com T q >   T m > T f . Mostre que o rendimento resultante da combinação é dado por ε c o m b = 1 - T f T q .   (Observe que este resultado significa que as duas máquinas térmicas, operando “em série”, são equivalentes a uma máquina térmica reversível operando entre o reservatório mais quente e mais frio).

Passo 1

Legal galera, queremos calcular a eficiência da combinação destas duas máquinas. Sabemos que a eficiência é dada pela razão do trabalho total realizado ( W 1 + W 2 ) pelo calor absorvido da temperatura mais alta, que aqui é Q q , concordam?

Então como fica esse rendimento?

ε c o m b = W 1 + W 2 Q q

Agora que calculamos a eficiência da combinação, vamos calcular cada uma separadamente. Começando por 1:

ε 1 = W 1 Q q

E para 2:

ε 2 = W 2 Q m

Podemos isolar o trabalho para inserir o resultado na combinação:

W 1 = Q q . ε 1

W 2 = Q m . ε 2

Então:

ε c o m b = Q q . ε 1 + Q m . ε 2 Q q = ε 1 + Q m Q q ε 2

Vamos guardar esta informação!

Passo 2

Vamos expressar agora cada eficiência em função dos calores de entrada e saída. Se lembram?

ε 1 = 1 - Q m Q q

Por enquanto só essa já nos dá uma informação legal né!? Olhe só se isolarmos a razão:

Q m Q q = 1 - ε 1

Agora ficou legal. Vamos colocar na eficiência da combinação e ver o que conseguimos?

ε c o m b = ε 1 + ( 1 - ε 1 ) ε 2

Passo 3

Mas não queremos isso, não é? Queremos a eficiência em função das temperaturas.

Então vamos calcular o rendimento para cada máquina em função das suas temperaturas de funcionamento:

ε 1 = 1 - T m T q

ε 2 = 1 - T f T m

Substituindo na combinação:

ε c o m b = 1 - T m T q + 1 - 1 + T m T q 1 - T f T m = 1 - T m T q + T m T q 1 - T f T m

Então:

ε c o m b = 1 - T m T q + T m T q - T f T q

Concluindo que:

ε c o m b = 1 - T f T q

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