Enunciado

Um gás ideal ( 1 m o l ) é a substância de trabalho de uma máquina térmica que descreve o ciclo mostrado na figura abaixo. Os processos B C e D A   são reversíveis e adiabáticos. ( a ) o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? ( b ) Qual é a eficiência da máquina?

Passo 1

(a) Faala ae, beleza?

Bom, para determinar se o gás é mono, di ou poliatômico, podemos escolher qualquer processo adiabático. Vou escolher o B C , beleza?

Sabemos que em uma transformação adiabática temos:

p B V B γ = p c V c γ

Pelo gráfico temos as seguintes quantidades:

  • p B = p 0 ; p c = p 0 / 32
  • V B = 2 V 0 ; V C = 16 V 0 .

Substituindo na relação acima temos:

p 0 . 2 V 0 γ = p 0 32 . 16 V 0 γ

p 0 . 2 γ . V 0 γ = p 0 32 . 16 γ . V 0 γ

Cortando p 0 V 0 γ dos dois lados ficamos com:

2 γ = 16 γ 32

Colocando na base 2 temos:

2 γ = ( 2 4 ) γ 2 5

2 γ = 2 4 γ - 5

Dessa forma, podemos dizer que:

γ = 4 γ - 5

3 γ = 5

γ = 5 / 3

O que equivale a um gás monoatômico.

Passo 2

(b) A eficiência é dada pela expressão:

ϵ = 1 - Q Q Q F

Nos processos B C   e D A não há troca de calor, pois são adiabáticos. Então devemos encontrar os calores envolvidos nos processos A B e C D .

Passo 3

No processo A B : calor específico à pressão constante vai ser dado por:

Q = n C p Δ T

E sabemos que C p = g + 2 2 R . Como o gás é monoatômico, g = 3 :

Q = 5 2 n R . ( T B - T A )

Da lei dos gases ideais temos para o estado A :

T A = p A V A n R = p 0 V 0 n R

Para o estado B temos:

T B = p B V B n R = p 0 2 V 0 n R

Assim o calor específico à pressão constante é:

Q Q = 5 2 n R . p 0 V 0 n R 2 - 1 = 5 2 p 0 V 0

Passo 4

Para determinar o calor da fonte fria, referente ao processo C D , é precisa calcular o calor específico à pressão constante novamente, mas agora entre outros estados finais e iniciais:

Q = n C p Δ T = 5 2 n R . ( T D - T C )

Da lei dos gases ideais temos para o estado D :

T D = p D V D n R = ( p 0 / 32 ) .   8 V 0 n R = 1 4 p 0 V 0 n R

Para o estado C temos:

T C = p C V C n R = ( p 0 / 32 ) 16 V 0 n R = 1 2 p 0 V 0 n R

Assim o calor específico à pressão constante é:

Q F = 5 2 n R . p 0 V 0 n R 1 4 - 1 2 = - 5 8 p 0 V 0

Passo 5

Agora podemos voltar para o passo 2 e resgatar a expressão para a eficiência, pois já determinamos todas as quantidades necessárias:

ϵ = 1 - Q F Q Q

ϵ = 1 - 5 8 p 0 V 0 5 2 p 0 V 0 = 1 - 2 8 = 1 - 1 4 = 0,75

ϵ = 75 %

Resposta

a m o n o a t ô m i c o

b 75 %

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