Enunciado

Um sifão é estabelecido aspirando o líquido do reservatório (de densidade ρ ) através do tubo recurvado A B C e fazendo-o jorrar em C , com velocidade de escoamento v . (a) Calcule v em função dos parâmetros da figura P7. (b) Calcule a pressão nos pontos A e B . (c) Qual é o valor máximo de h 0 para o qual o sifão funciona?

Passo 1

(a) Vamos começar aplicando a equação de Bernoulli para dois pontos.

O ponto P 1 na superfície do reservatório, sob pressão p 0 e velocidade praticamente nula.

O ponto P 2 na saída do tubo, também sob pressão p 0 (porque está em contato com a atmosfera), e com velocidade v . Então:

p 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

p 0 + ρ g z 1 + 1 2 ρ 0 = p 0 + ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2

ρ g z 1 = ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2

A diferença de altura dos pontos é dada na figura, pois z 1 - z 2 = h 1 , então:

v = 2 g h 1

Passo 2

(b) Agora queremos encontrar a pressão no ponto A (na entrada do tubo). Vamos usar a equação de Bernoulli mais uma vez.

Podemos comparar o ponto A ao nosso ponto P 1 na superfície do reservatório:

p 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p A + ρ g z A + 1 2 ρ v A 2

Dessa vez temos z 1 = z A :

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p A + 1 2 ρ v A 2

Como vimos antes, a velocidade em P 1 é nula e p 1 = p 0 , então:

p 0 = p A + 1 2 ρ v A 2

A velocidade v A é medida logo na entrada do tubo.

Como o tubo tem uma área transversal constante, a velocidade é constante ao longo dele. Então podemos aproveitar o valor que calculamos antes:

v A = 2 g h 1

p 0 = p A + ρ g h 1

p A = p 0 - ρ g h 1

Passo 3

Para o ponto B , a única diferença é que z 1 ≠ z B :

p 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p B + ρ g z B + 1 2 ρ v B 2

Mais uma vez temos p 1 = p 0 , v 1 = 0 e v B = 2 g h 1 :

p 0 + ρ g z 1 = p B + ρ g z B + ρ g h 1

E z B - z 1 = h 0 , então:

p 0 = p B + ρ g h 0 + ρ g h 1

p B = p 0 - ρ g h 0 + h 1

Passo 4

(c) Para que o sifão funcione, o fluido tem que ser capaz de subir pelo menos até o ponto B , certo? Se ele chegar nesse ponto, a partir dali ele só precisa ser puxado pela gravidade.

Então no caso limite de funcionamento do sifão, a pressão no ponto B vai ser igual a zero. Vamos usar a fórmula que acabamos de demonstrar:

p B = p 0 - ρ g h 0 + h 1

Quando p B = 0 temos h 0 = h 0 , m á x :

0 = p 0 - ρ g h 0 , m á x + h 1

h 0 , m á x = p 0 ρ g - h 1

Resposta

(a) v = 2 g h 1 .

(b) p A = p 0 - ρ g h 1 e p B = p 0 - ρ g h 0 + h 1 .

(c) O valor máximo é h 0 = p 0 ρ g - h 1 .

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