Enunciado

Um tanque de água encontra-se sobre um carinho que pode mover-se sobre um trilho horizontal com atrito desprezível. Há um pequeno orifício numa parede, a uma profunidade h abaixo do nível da água no tanque. A área do orifício é A (despreze o fator de contração da veia líquida), a massa inicial da água é M 0 e a massa do carrinho e do tanque é m 0 . Qual é a aceleração inicial do carrinho?

Passo 1

Vamos começar encontrando uma fórmula para a força que a água ejetada gera sobre o sistema quando é empurrada para fora: o empuxo.

Pela segunda lei de Newton, nós sabemos que a soma das forças externas agindo sobre um sistema é:

F e x t = d d t p

Onde p é o momento linear. Nesse caso, não existem forças externas agindo, então:

d p d t = 0

d d t m v = 0

Usando a regra do produto:

m d v d t + v d m d t = 0

m a = - v d m d t

O empuxo é justamente a força associada à essa aceleração a , então:

E r = - v d m d t

E podemos escrever a massa como produto da densidade da água e do volume no interior do tubo:

E r = - v d d t ρ V

Como a densidade é uma constante, ficamos apenas com:

E r = - v ρ d d t V = - v ρ V ˙

Passo 2

Agora vamos lembrar da fórmula para essa taxa de variação do volume (que é a vazão volumétrica):

V ˙ = Q = v A

Onde A é a área do orifício por onde a água escapa e v é a sua velocidade:

E r = - ρ A v 2

Agora vamos usar a equação de Bernoulli entre dois pontos. Um P 1 no topo da superfície do líquido e outro P 2 bem na saída do tubo.

p 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

A pressão nos dois pontos é igual, porque os dois estão em contato com a atmosfera:

ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

E a velocidade v 1 no topo da superfície é nula:

ρ g z 1 = ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

v 2 2 = 2 g z 1 - z 2 = 2 g h

Passo 3

Vamos substituir isso na fórmula que encontramos para o empuxo:

E r = - ρ A v 2

E r = - ρ A   2 g h

E como E r = m a , a aceleração do sistema é:

a = - 2 A ρ g h m

E m é a soma das massas da água, do carrinho e do tanque:

a = - 2 A ρ g h M 0 + m 0

Resposta

A aceleração inicial do carrinho é a = - 2 A ρ g h M 0 + m 0 .

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