Enunciado

O Sol e a Lua exercem, ambos, forças gravitacionais sobre os oceanos da Terra, provocando marés. (a) Mostre que a razão entre a força exercida sobre uma partícula pontual na superfície da Terra pelo Sol, e aquela exercida pela Lua, é M S r L 2 / M L r S 2 . Aqui, M S e M L representam as massas do Sol e da Lua, e r S e r L são as distancias da partícula ao Sol e à Lua, respectivamente. Estime numericamente esta razão. (b) Mesmo que o Sol exerça uma força muito maior sobre os oceanos do que a Lua, a Lua produz um efeito maior sobre as marés porque é a diferença entre as forças entre um lado e o outro da Terra que é importante. Diferencie a expressão F = G m 1 m 2 / r 2 para determinar a variação de F devido a uma pequena variação de r . Mostre que d F / F = - 2 d r / r . (c) A protuberância de marés oceânicas (isto é, o abaulamento da água dos oceanos, levando à formação de dois pontos opostos altos e dois pontos opostos baixos) é causada pela diferença de forças gravitacionais sobre os oceanos entre um lado da Terra e o outro. Mostre que, para uma pequena diferença em distância, em comparação com a distância média, a razão entre a variação da força gravitacional exercida pelo Sol e a variação da força gravitacional exercida pela Lua sobre os oceanos da Terra é dada por Δ F S / Δ F L ≈ ( M S r L 3 ) / ( M L r S 3 ) . Calcule esta razão. Qual é a sua conclusão? Qual objeto, a Lua ou o Sol, é o maior causador do abaulamento dos oceanos na Terra?

Passo 1

A questão assusta com esse enunciado gigantesco, mas é só fumaça! Vamos começar escrevendo as forças exercidas pelo Sol e pela Lua em um corpo de água de massa m e depois fazer a razão entre essas forças e teremos a solução da letra (a). Para a letra (b), vamos seguir os passos que a questão fala e isolar o que queremos! Na letra (c) vamos tentar ver a variação de cada força para uma dada variação de r e depois vamos dividir ambas as equações e teremos o nosso resultado.

Passo 2

Começando escrevendo cada uma das forças exercidas no corpo de massa m pelo Sol e pela Lua:

F S = G M S m r S 2

F L = G M L m r L 2

Como queremos a razão entre as duas forças, vamos dividir uma equação pela outra:

F S F L = G M S m r S 2 G M L m r L 2 = M S r L 2 M L r S 2

Agora é só substituir os valores!

F S F L = 1.99 ∙ 10 30   k g 3.84 ∙ 10 8   m 2 7.36 ∙ 10 22   k g 1.50 ∙ 10 11   m 2 = 177

Essa é a resposta da letra a!

Passo 3

Para a letra b, vamos derivar G m 1 m 2 r 2 em função de r :

d F d r = - 2 G m 1 m 2 r 3 = - 2 r G m 1 m 2 r 2

E G m 1 m 2 r 2 é a força gravitacional entre ambas os corpos! Podemos substituir então e ficar com:

d F d r = - 2 r   F

Agora passando umas coisas pra lá e outras pra cá:

d F F = - 2 d r r

Que é exatamente o que queríamos mostrar :)

Passo 4

A partir do que encontramos na letra b, podemos fazer a seguinte aproximação para variações pequenas de F e r :

Δ F F = - 2 Δ r r

Isolando a variação da força:

Δ F = 2 Δ r r F

Vamos agora expressar tanto para o Sol quanto para a Lua:

Δ F S = 2 Δ r S r S F S

Δ F L = 2 Δ r L r L F L

Passo 5

Substituindo o valor de cada uma das duas forças F S e F L :

Δ F S = 2 Δ r S r S G m M S r S 2 = 2 G m M S r S 3 Δ r S

Δ F L = 2 Δ r L r L G m M L r L 2 = 2 G m M L r L 3 Δ r L

Agora é só dividir uma equação pela outra e simplificar!

Δ F S Δ F L = 2 G m M S r S 3 Δ r S 2 G m M L r L 3 Δ r L = M S r L 3 M L r S 3 Δ r S Δ r L

Como a variação é pequena e igual para as duas distâncias: Δ r S Δ r L = 1 .

Δ F S Δ F L = M S r L 3 M L r S 3

Provado! Agora é só substituir os valores e interpretar o resultado.

Passo 6

Ficamos com:

Δ F S Δ F L = 1.99 ∙ 10 3   k g 3.84 ∙ 10 8   m 3 7.36 ∙ 10 22   k g 1.50 ∙ 10 11   m 3 = 0.454

Como a razão é menor que 1 , podemos concluir que a lua é a causa principal do abaulamento dos oceanos na Terra.

Resposta

  1. 177

(c) Δ F S Δ F L = 0.454 . Como a razão é menor que 1 , podemos concluir que a lua é a causa principal do abaulamento dos oceanos na Terra.

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