Enunciado

Suponha que as duas extremidades da barra da Figura 17.23 sejam mantidas à temperatura de 0   ° C e que a distribuição de temperatura inicial ao longo da barra seja dada por T 100   ° C s e n π x / L , onde x é medido a partir da extremidade esquerda da barra. Suponha que a barra seja de cobre, com comprimento L = 0,100   m , e área da seção reta igual a 1,0   c m 2 . a) Mostre a distribuição da temperatura inicial em um diagrama. b) Qual é a distribuição final de temperatura depois de decorrido um intervalo de tempo muito longo? c) Faça um esboço mostrando as curvas que você imagina que possam representar a distribuição de temperatura em tempos intermediários. Qual é o gradiente de temperatura inicial nas extremidades da barra? e) Qual é aa taxa de transferência de calor inicial nas extremidades da barra para os corpos que estão em contato com essas extremidades? f) Qual é a taxa de transferência de calor inicial no centro da barra? Explique. Qual [e a taxa de transferência de calor nesse ponto em qualquer instante posterior? g) Qual é o valor da difusividade térmica k / ρ c para o cobre e quais são as unidades dessa grandeza? (Aqui, k é a condutividade térmica, ρ = 8,9 × 10 3   k g / m 3   é a densidade e c é o calor especifico.) h) Qual é a taxa inicial da variação da temperatura com o tempo no centro da barra? i) Quanto tempo seria necessário para o centro da barra atingir sua temperatura final caso a temperatura continue com essa taxa? (Esse tempo é chamado de tempo de relaxação da barra.) j) Usando os gráficos da parte (c), você esperaria que o modulo da taxa de variação da temperatura no ponto médio permanecesse constante, aumentasse ou diminuísse em função do tempo? k) Qual é a taxa inicial da variação da temperatura em um ponto da barra situado a 2,5   c m da sua extremidade esquerda?

Passo 1

a) O gráfico seria a função seno com x no intervalo [ 0 ,   L ] . Se dividirmos a escala de T   em 10 00 , para facilitar o desenho do gráfico, o esboço fica:

Passo 2

b) Se as extremidades se mantêm a zero graus até o final do período, então a temperatura da barra irá diminuir até que toda a barra esteja a zero graus.

Passo 3

c) Em tempos intermediários, a barra continua com as extremidades a zero graus, e a temperatura do meio da barra, que antes era mais alto, foi transferida para as vizinhanças, então a gente pode dizer que a curva do gráfico vai se tornando cada vez mais suave:

Passo 4

d) O gradiente de temperatura para qualquer ponto, é a derivada da função em relação a x :

d T d x = 100   ° C π L cos ⁡ π x L  

E como a questão pede nas extremidades, x = 0 e x = L , em um caso o cosseno será 1 e outro -1, então:

d T d x = ± 100   ° C π 0,1   m = ± 3,14 × 10 3   ° C / m

Passo 5

e) A taxa de transferência é dada por:

H = k A d T d x

Usando a condutividade do cobre, a área dada pelo enunciado e o valor da taxa de transferência para as extremidades:

H = 385,0   W / m ⋅ K ( 1,00 × 10 - 4   m 2 ) ( 3,14 × 10 3   ° C / m )

H = 121   W

Passo 6

f) O valor da taxa no centro é:

H = k A 100   ° C π L cos ⁡ π x L  

Com x = L / 2 , o que resulta zero na função cosseno e na taxa de transferência inteira:

H = 0

O que faz sentido, já que não há calor passando por aquele ponto quando a barra perde calor para as extremidades, parte flui para a esquerda e, parte para a direita. Isso significa que em momento algum, esse ponto terá corrente de calor.

Passo 7

g) Para esse caso, basta substituirmos os valores dados para o cobre:

k ρ c = 385,0   W / m ⋅ K 8,9 × 10 3   k g / m 3 ( 390   J / k g ⋅ K ) = 1,10 × 10 - 4   m 2 / s

Passo 8

h) A taxa da variação de temperatura no centro é dada pela equação de calor:

∂ T ∂ t = k ρ c ∂ 2 T ∂ x 2

A segunda derivada da função temperatura é:

∂ 2 T ∂ x 2 = - 100   ° C π 2 L 2 s en ⁡ π x L

No centro x = L / 2 , então sen ⁡ π x L :

sen ⁡ π L 2 L = sen ⁡ π 2 = 1

Ficamos com:

∂ 2 T ∂ x 2 = - 100   ° C π 2 0,1   m 2

Substituindo os valores na equação de calor:

∂ T ∂ t = - 1,10 × 10 - 4   m 2 / s 100   ° C π 2 0,1   m 2

A taxa será:

∂ T ∂ t = - 10.9   ° C / s

Passo 9

i) Fazemos a razão entre a temperatura inicial do centro da barra e a taxa de variação:

t = 100   ° C 10.9   ° C / s = 9,2   s

Usamos o valor positivo da taxa porque o tempo não pode ser negativo.

Passo 10

j) O módulo da variação vai diminuir, podemos ver isso no gráfico da letra (c), à medida que o tempo passa, a curva fica mais suave, e a segunda derivada também vai ficar.

Passo 11

k) Usamos mais uma vez a equação de calor, mas agora usando x = L / 4 :

∂ T ∂ t = - k ρ c 100   ° C π 2 L 2 sen ⁡ π 4

E a taxa nesse ponto vai ser:

∂ T ∂ t = - 7,71   ° C / s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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