Enunciado

a) Uma esfera oca possui uma superfície interna com temperatura T 2 e raio a , e uma superfície externa com temperatura T 1 e raio b . A condutividade térmica do matéria da esfera é k . Deduza uma expressão para a taxa total de transferência de calor através da esfera oca. b) Deduza uma expressão para a variação de temperatura no interior da esfera oca da parte (a); ou seja, calcule T em função de r , a distância entre o centro da esfera e o ponto considerado. c) Um cilindro oco de comprimento L possui uma superfície interna com temperatura T 2 e raio a , e uma superfície externa com temperatura T 1 e raio b . (O cilindro poderia representar, por exemplo, um tubo isolado que conduz água quente.) A condutividade do material do cilindro é k . Deduza uma equação para a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro. d) Para o cilindro da parte (c), deduza uma expressão para a temperatura no interior das paredes cilíndricas. e) Mostre que tanto a equação da taxa de transferência de calor obtida na parte (a) quanto a obtida na parte (c) se reduzem à Equação (17.21) para a transferência de calor linear quando a camada esférica ou o cilindro forem muito finos.

Passo 1

a) A Equação 17.21 que o enunciado fala é:

H = k A   T H - T C L

Como podemos ver pela equação, a diferença de temperatura dividida pela distancia entre os pontos que estão em diferentes temperaturas é o que dá a taxa de transferência. No caso da esfera oca, a distância entre a camada interna não cresce linearmente à medida que o raio aumenta como podemos ver pela equação da área da esfera:

A = 4 π r 2

Vamos então usar uma variação infinitesimal de temperatura na equação da taxa de transferência, provocada por uma variação infinitesimal no raio de uma esfera qualquer ao invés da razão entre a diferença das temperaturas e a distancia linear:

H = k 4 π r 2 d T d r

Podemos separar a equação diferencial:

H d r 4 π r 2 = k d T

E integrar dos dois lados considerando os limites de integração dados no enunciado:

H 4 π 1 a - 1 b = k ( T 2 - T 1 )

Aqui consideramos que o calor varia de dentro para fora.

Se isolarmos a taxa de transferência, a equação se torna: H = k 4 π a b T 2 - T 1 b - a

Passo 2

b) Para esse caso, sabemos que a temperatura varia com o quadrado da distância do centro da esfera, como afirmamos na letra (a), só que aqui a questão pede a variação de temperatura

até um ponto considerado r . Podemos escrever a derivada da temperatura da seguinte maneira:

d T d r = B r 2

Sendo B uma constante qualquer.

Separando:

d T = B d r r 2

E integrando usando o limite inferior dado pelo enunciado para a superfície interna da esfera e o superior um limite T ( r ) que é a temperatura no ponto r :

∫ T 2 T ( r ) d T = B ∫ a r d r r 2

Ficamos com:

T r - T 2 = B 1 a - 1 r

E agora integramos de novo usando os limites dados pelo enunciado (repare que nos dois casos estamos fazendo a integração de dentro para fora da esfera):

∫ T 2 T 1 d T = B ∫ a b d r r 2

Fica:

T 1 - T 2 = B 1 a - 1 b

Isolando B na última equação:

B = T 1 - T 2 1 a - 1 b = a b T 1 - T 2 b - a

e substituindo na penúltima:

T r - T 2 = a b T 1 - T 2 b - a 1 a - 1 r

Tirando MMC do final e reescrevendo:

T r - T 2 = - T 2 - T 1 r - a b - a b r

T r = T 2 - T 2 - T 1 r - a b - a b r

Passo 3

c) No caso do cilindro oco, podemos usar de novo a equação 17.21 para começarmos o cálculo, e considerarmos de novo uma variação infinitesimal na temperatura provocada por uma variação em r :

H = k A d T d r

A área nesse caso é:

A = 2 π r h

Sendo h o comprimento do lado do cilindro.

Substituindo na equação da taxa de transferência de calor:

H = k ( 2 π r h ) d T d r

Separando:

H d r 2 π r h = k d T

Integrando dos dois lados, considerando os limites dados pelo enunciado:

H 2 π ln ⁡ b a = k h ( T 2 - T 1 )

Isolando H , a equação para o cilindro fica:

H 2 π ln ⁡ b a = k h ( T 2 - T 1 )

H = 2 π k h T 2 - T 1 ln ⁡ b a

Passo 4

d) Aqui a gente repete a mesma ideia do Passo 2, mas considerando que a temperatura varia com o inverso de r já que é o que aconteceu ao deduzirmos a equação da letra (c):

d T d r = B r

Separamos a equação diferencial de novo e resolvemos para os dois casos, um com os limites inferior e superior dados pelo enunciado e o outro apenas com o limite inferior, já que o superior é o valor r arbitrário, que dará o valor T ( r ) , ou seja, o valor da temperatura no ponto r , e então substituímos uma equação na outra para fazer B sumir. o resultado fica:

∫ T 2 T ( r ) d T = B ∫ a r d r r 2

∫ T 2 T 1 d T = B ∫ a b d r r

T r = T 2 - T 2 - T 1 l n ⁡ ( r / a ) l n ⁡ ( b / a )

Passo 5

e) No caso da esfera da letra (a), se considerarmos que a distância entre os dois raios for muito pequena, podemos dizer que as duas superfícies têm aproximadamente o mesmo raio, assim:

b - a = l

H = k 4 π a 2 T 2 - T 1 l = k A T 2 - T 1 l

E l será o valor da distância entre as duas superfícies.

No caso do cilindro, podemos reescrever a função logaritmo no denominador do resultado da letra (c) como, se considerarmos l = b - a de novo: ln ⁡ b a = ln ⁡ l + a a = ln ⁡ l a + 1

Como l a é muito pequeno, podemos fazer a aproximação:

ln ⁡ l a + 1 = l a

A equação então fica:

H = 2 π a k h T 2 - T 1 l

E como a área é: A = 2 π a h

Sendo a o raio do cilindro:

H = A k T 2 - T 1 l

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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