Enunciado

Suponha que você deixe o sistema solar e chegue em um planeta com a mesma razão massa/volume da Terra, mas com um raio igual a 10 vezes o raio da Terra. Quanto você pesaria neste planeta em comparação com o seu peso na Terra?

Passo 1

Olá, querido!

O nosso peso em um planeta é diretamente proporcional à aceleração da gravidade na sua superfície. Já que

P = m g

Como a nossa massa é constante, podemos relacionar o nosso peso nos dois planetas pela razão entre a gravidade na superfície de cada planeta.

P p P T = m g P m g T

P p P T = g p g T

A gravidade na superfície de um planeta pode ser escrita pela expressão

g = G M R 2

Temos então que a gravidade no planeta novo é

g p = G M p R p

E na Terra é

g T = G M T R T

Logo a razão entre as gravidades fica:

g p g T = G M p R P 2 G M T R T 2 = R T R P 2 M P M T

A gente então vai usar essa razão para achar a relação entre as duas gravidades, logo, entre os dois pesos. Vem!

Passo 2

Vamos escrever a massa em função do raio para cada! Considerando que ρ é a densidade de um planeta e que ele é uma esfera perfeita:

ρ = M V

Lembra que o enunciado disse que os dois planetas tem a mesma razão massa volume? Então quer dizer que eles tem a mesma densidade. Continuando:

M = ρ V

M = 4 ρ 3 π R 3

Então a massa dos planetas que a gente tem é

M p = 4 ρ 3   π R p 3

M T = 4 ρ 3   π R T 3

Repara que ρ é o mesmo para os dois, porque como vimos eles tem a mesma densidade. Substituindo essas massas na razão que encontramos no passo 1:

g p g T = R T R P 2 M P M T

g p g T = R T R P 2 × 4 3 ρ π R P 3 4 3 ρ π R T 3

g p g T = R P R T

Passo 3

Como o planeta novo tem o raio 10 vezes maior que o da Terra, podemos escrever

R p = 10   R T

Substituindo isso na nossa razão

g p g T = 10   R T R T

g p g T = 10

g p = 10 g T

E então, em um planeta como esse, o nosso peso vai ser 10 vezes maior! Caraca, e eu tentando emagrecer ☹

Resposta

O peso é 10 vezes maior no planeta que na Terra.

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