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Três barras retilíneas de mesmo comprimento, feitas de alumínio, Invar e aço, todas a 20,0 ° C , formam um triângulo equilátero com pinos articulados nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar é 59,95 ° ? As fórmulas trigonométricas necessárias estão no apêndice E e os dados necessários estão na Tabela 18 - 2 .

Passo 1

Ok, vamos começar desenhando a situação:

O enunciado diz que, no começo, o triângulo é equilátero. Então tá, o que isso quer dizer? Primeiro, claro, que todos os lados são iguais, e segundo que todos os ângulos também são, e medem:

180 ° 3 = 60 °

Agora nós vamos aquecer esse triângulo, e a pergunta é a seguinte: o quanto a gente tem que aquecer pra que o ângulo oposto à barra de Invar (que está marcado ali na figura como ψ ), meça 59,95 ° ?

Passo 2

Bom, conforme a temperatura vai aumentando, a gente sabe que o comprimento de cada lado aumenta por essa fórmula aqui:

L = L 0 + L 0 α Δ T

L = L 0 ( 1 + α Δ T )

O α de cada material foi dado naquela tabela. Agora vem a questão? Como a gente pode relacionar o comprimento dos lados com aquele ângulo ψ que a gente quer “controlar”?

Vamos usar a lei dos cossenos!

L I n 2 = L A l 2 + L A ç 2 - 2 L A l L A ç ( cos ⁡ ψ )

Beleza, agora vamos substituir aquela fórmula da dilatação (pra cada um dos materiais) nessa equação.

Passo 3

Lembre sempre que, como o triângulo começa equilátero, o L 0 é o mesmo pra todos.

L I n 2 = L A l 2 + L A ç 2 - 2 L A l L A ç ( cos ⁡ ψ )

L 0 2 1 + α I n Δ T 2 = L 0 2 1 + α A l Δ T 2 + L 0 2 1 + α A ç Δ T 2 - 2 L 0 2 ( 1 + α A l Δ T ) ( 1 + α A ç Δ T ) ( cos ⁡ ψ )

Muita coisa né? Mas vamos arrumar um pouco. Primeiro podemos cortar o L 0 2 , que aparece em todos os termos:

1 + α I n Δ T 2 = 1 + α A l Δ T 2 + 1 + α A ç Δ T 2 - 2 ( 1 + α A l Δ T ) ( 1 + α A ç Δ T ) ( cos ⁡ ψ )

Agora vamos pensar o seguinte, quando a gente elevar esses parênteses aí ao quadrado, vai ficar mais ou menos assim:

1 + α Δ T 2 = 1 + 2 α Δ T + α 2 Δ T 2

Mas pensa bem: os coeficientes de dilatação ( α ) já são aí da ordem do 10 - 6 , concorda? E a variação de temperatura também vai ser bem pequena, já que só queremos mudar o ângulo de 60 ° pra 59,95 ° . Quando a gente elevar essas coisas muito pequenas ao quadrado, elas vão ficar ainda mais insignificantes!

Então o que a gente vai fazer (e isso é muito comum na física) é ignorar esses termos que vão ficar ao quadrado, porque eles não vão fazer nenhuma diferença na nossa questão.

Passo 4

Ok, agora sim, vamos abrir os parênteses (já ignorando os termos que tem α 2 Δ T 2 ) .

1 + α I n Δ T 2 = 1 + α A l Δ T 2 + 1 + α A ç Δ T 2 - 2 ( 1 + α A l Δ T ) ( 1 + α A ç Δ T ) ( cos ⁡ ψ )

1 + 2 α I n Δ T = 1 + 2 α A l Δ T + 1 + 2 α A ç Δ T - 2 ( 1 + α A ç Δ T + α A l Δ T ) ( cos ⁡ ψ )

1 + 2 α I n Δ T = 1 + 2 α A l Δ T + 1 + 2 α A ç Δ T - 2 ( 1 + α A ç Δ T + α A l Δ T ) ( cos ⁡ ψ )

Vamos continuar arrumando:

1 + 2 α I n Δ T = 2 + 2 α A l + α A ç Δ T - 2 cos ⁡ ψ - 2 α A ç + α A l Δ T ( cos ⁡ ψ )

Agora vamos tentar isolar Δ T :

2 α I n - α A l - α A ç + α A ç cos ⁡ ψ + α A l cos ⁡ ψ Δ T = 1 - 2 . cos ⁡ ( ψ )

Δ T = 1 - 2 . cos ⁡ ( ψ ) 2 α I n - α A l - α A ç + α A ç cos ⁡ ψ + α A l cos ⁡ ψ

Vamos dividir em cima e embaixo por dois:

Δ T = 1 / 2 - c o s ⁡ ( ψ ) α A ç cos ⁡ ψ - 1 + α A l cos ⁡ ψ - 1 + α I n

Δ T = 1 / 2 - c o s ⁡ ( ψ ) ( α A ç + α A l ) cos ⁡ ψ - 1 + α I n

Ótimo, agora é só substituir os valores:

Δ T = 1 / 2 - c o s ⁡ ( 59,95 ° ) 11.10 - 6 + 23.10 - 6 cos ⁡ 59,95 ° - 1 + 0,7.10 - 6

Δ T = - 7,55.10 - 4 - 1,70.10 - 5 + 0,7.10 - 6

Δ T = 46,39213

Ok, essa é a variação de temperatura. Então a temperatura final é:

Δ T = T f - T 0

T f = T 0 + Δ T

T f = 46,392 + 20,0 = 66,392 ° C

E então:

T f ≅ 66 ° C

Ótimo! Deu trabalho, mas conseguimos.

Resposta

Esse ângulo ocorre quando T = 66 ° C

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