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Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 18.Problemas Adicionais - Ex. 83

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A temperatura de um disco de Pyrex varia de 10,0 ° C para 60,0 ° C . O raio inicial do disco é 8,00   c m e a espessura inicial é 0,500   c m . Tome esses dados como sendo exatos. Qual é a variação do volume do disco? (Veja a tabela 18 - 2 .)

Passo 1

O que vai acontecer aqui é o seguinte: o vidro vai dilatar certo? Mas como estamos pensando tanto no raio quanto na espessura, vamos considerar as dilatações dos dois.

O coeficiente de dilatação linear é:

α = 3,2   10 - 6   ° C

E a fórmula da dilatação é quase a mesma no raio r e na espessura L .

Δ r = r α Δ T

Δ L = L α Δ T

Ok, nosso objetivo é calcular a variação do volume quando a temperatura vai de 10 ° C para 60 ° C , ou seja:

Δ T = 60 - 10 = 50 ° C

Passo 2

Vamos encontrar uma fórmula para a variação do volume. Já que o disco tem espessura, vamos pensar nele como um cilindro:

V = A b h

A base é um círculo, e a altura é a espessura L , então vamos colocar a fórmula que conhecemos:

V = π r 2 L

E vamos dizer que, depois da dilatação, os raios passam a ser:

r ' = r + Δ r

L ' = L + Δ L

Substituindo isso na fórmula para o novo volume V ' :

V ' = π r ' 2 L '

V ' = π r + Δ r 2 ( L + Δ L )

V ' = π ( r 2 + 2 r Δ r + Δ r 2 ) ( L + Δ L )

V ' = π ( r 2 L + 2 r Δ r L + Δ r 2 L + Δ L r 2 + 2 r Δ r Δ L + Δ r 2 Δ L )

Agora vamos fazer um “truque” muito comum em questões de dilatação. Como as variações Δ r e Δ L costumam ser muito pequenas, nós vamos desconsiderar todos os termos em que essas variações aparecem ao quadrado, ou multiplicadas entre si.

Um número muito pequeno ao quadrado é um número extremamente pequeno! Então vãos descartar todos desse tipo:

V ' = π ( r 2 L + 2 r Δ r L + Δ L r 2 )

Agora sim, vamos subtrair esse volume V ' do volume inicial V :

V ' - V = π r 2 L + 2 r Δ r L + Δ L r 2 - π r 2 L

Δ V = 2 r π Δ r L + Δ L r 2 π

Passo 3

Beleza, agora vamos jogar as fórmulas da dilatação (que achamos no passo 1 ) nessa variação de volume:

Δ V = 2 r π Δ r L + Δ L r 2 π

Δ V = 2 r π r α Δ T L + L α Δ T r 2 π

Δ V = 2 π α Δ T r 2 L + π α Δ T r 2 L = 3 π α Δ T ( r 2 L )

Ótimo, agora é só substituir os valores (lembre de converter os centímetros para metros):

Δ V = 3 π α Δ T ( r 2 L )

Δ V = 3 π 3,2.10 - 6 50 0,08 2 ( 0,005 )

Δ V ≅ 4,83   .   10 - 8   m 3

Ou, em centímetros cúbicos:

Δ V = 4,83   .   10 - 2   c m 3

Pronto, resolvido!

Resposta

A variação do volume é de 4,83   .   10 - 2   c m 3 .

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