Enunciado

Um pêndulo de Foucault consiste em uma esfera de latão com um diâmetro de 35,0 cm suspensa por um cabo de aço de 10,5 m de comprimento (ambas as medições efetuadas a 20,0 °C). Em decorrência de um descuido no projeto, a esfera oscilante passa rente ao chão, a apenas 2,0 mm de distância, quando a temperatura é 20,0 °C. Em que temperatura a esfera começa a tocar o chão?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolvermos esse exercício, temos que relembrar a relação que descreve o fenômeno de dilatação térmica em decorrência de um aumento na temperatura. Bem, é um resultado experimental que, ao aquecermos um material, ele sofrerá dilatação em todas as direções. O quanto esse material dilatar em uma direção específica (como a direção radial em um objeto esférico ou na direção do comprimento de uma barra, por exemplo), tal dilatação é dita ser linear. Matematicamente, a variação de comprimento na direção analisada Δ L é diretamente proporcional ao comprimento inicial L 0 e à própria variação de temperatura Δ T . A constante α de proporcionalidade entre as grandezas em questão é o coeficiente de dilatação, que varia de material para material:

Δ L = α L 0 Δ T

Passo 2

Da tabela 17.1 do livro encontrada na sessão “expansão térmica”, temos que os coeficientes de dilatação linear do latão e do aço são, respectivamente, α L = 2,0 × 10 - 5   ° C - 1 e α A = 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 . Como estamos interessados apenas no crescimento na direção vertical da bola de latão no pêndulo, o coeficiente de dilatação linear será o suficiente, ainda mais por estarmos lidando com um objeto esférico (logo, simétrico), que cresce para todas as direções de forma igualitária quando submetido a um aumento de temperatura.

Passo 3

Com isso em mente, vamos supor que o pêndulo de Foucault sofra, como um todo, uma variação de temperatura Δ T = T - 20 , lembrando que 20   ° C é a temperatura ambiente que o aparato se encontra inicialmente. Então, para essa variação, tanto a haste de aço quanto a esfera de latão vão sofrer dilatações L f A - L 0 A e L f 1 - L 0 1 , respectivamente, descritas matematicamente pelas expressões:

L f A - L 0 A = α A L 0 A T - 20

L f 1 - L 0 1 = α L L 0 L T - 20

Passo 4

Somando as duas expressões acima, vamos ter em mãos a dilatação total que o pêndulo irá sofrer com a variação de temperatura em questão:

L f A - L 0 A + ( L f 1 - L 0 1 ) = α A L 0 A + α L L 0 L T - 20

Passo 5

Agora, com essa ferramenta em mente definida, vamos pensar em como usá-la para resolver nosso problema. Nosso objetivo é encontrar a temperatura T tal que o pêndulo de Foucault como um todo se dilate 2mm para tocar o chão. Portanto, desejamos, na equação acima que mostra a dilatação total do pêndulo em função da temperatura final, que a soma das dilatações da haste de aço e do diâmetro da esfera de latão seja precisamente 2mm. Assim sendo:

20 × 10 - 3 = α A L 0 A + α L L 0 L T - 20

Passo 6

Substituindo os dados fornecidos no enunciado e isolando T .

T = 0,002 13,3 × 10 - 5 + 20

T = 35,04   ° C

Resposta

Portanto, para que o pêndulo de Foucault toque o chão, basta aquecê-lo a uma temperatura final de T = 35,04   ° C .

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