Enunciado

Uma barra metálica com 30,0 cm de comprimento se expande de 0,0650 cm quando sua temperatura aumenta de 0,0 °C até 100,0 °C. Uma barra de outro metal com o mesmo comprimento dilata-se 0,0350 cm com a mesma variação de temperatura. Uma terceira barra, também com 30,0 cm de comprimento, feita pela junção de dois pedaços dos materiais mencionados, conectados pelas suas extremidades, dilata-se de 0,0580 cm entre 0,0 °C e 100,0 °C. Calcule o comprimento de cada pedaço da barra composta.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Para resolvermos esse exercício, temos que relembrar a relação que descreve o fenômeno de dilatação térmica em decorrência de um aumento na temperatura. Bem, é um resultado experimental que, ao aquecermos um material, ele sofrerá dilatação em todas as direções. O quanto esse material dilatar em uma direção específica (como a direção radial em um objeto esférico ou na direção do comprimento de uma barra, por exemplo), tal dilatação é dita ser linear. Matematicamente, a variação de comprimento na direção analisada Δ L é diretamente proporcional ao comprimento inicial L 0 e à própria variação de temperatura Δ T . A constante de proporcionalidade α entre as grandezas em questão é o coeficiente de dilatação, que varia de material para material:

Δ L = α L 0 Δ T

Passo 2

Primeiramente, consideremos o material A fornecido pelo enunciado, que dilata 0,0650cm quando submetido a um aumento na temperatura de 100   ° C . Seu comprimento inicial é 30 cm. Portanto, podemos calcular seu coeficiente de dilatação linear α A usando a relação acima:

0,0650 = 30 100 α A

α A = 2,17 × 10 - 5   C - 1

Passo 3

Agora, vamos estudar o coeficiente de dilatação linear do material B, α B que dilata 0,0350 cm quando submetido ao mesmo aumento de 100   ° C na temperatura, com o mesmo comprimento inicial da barra de material A:

0,0350 = 30 100 α B

α B = 1,17 × 10 - 5   C - 1

Passo 4

Com esses novos dados em mente, vamos atacar o problema da barra composta pelos materiais A e B. Sejam L 0 A e L 0 B os comprimentos dos pedaços feitos dos materiais A e B, respectivamente, da barra composta. Como seu comprimento é 30 cm, temos que vale a seguinte relação:

L 0 A + L 0 B = 30   c m

Passo 5

Δ L A + Δ L B = 0,0580

Acima, o primeiro termo da soma é a variação sofrida pela parte formada pelo material A e B a variação pela parte composta pelo material B. Expandindo tais variações:

α A L 0 A + α B L 0 B Δ T = 0,0580

2,17 × 10 - 5 L 0 A + 1 , 17 × 10 - 5 L 0 B = 0,0580

Passo 6

Temos em mãos, portanto, um sistema de duas equações envolvendo os comprimentos iniciais das diferentes partes da barra composta, de sorte que o resolvendo, obtemos o resultado desejado:

L 0 A + L 0 B = 30 2,17 L 0 A + 1,17 L 0 B = 58

Resolvendo o sistema

L 0 A = 22,9   c m

L 0 B = 7,1   c m

Resposta

Portanto, os comprimentos iniciais das partes feitas pelos materiais A e B da barra composta são, respectivamente, L 0 A = 22,9   c m e L 0 B = 7,1   c m .

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