Enunciado

O tempo necessário para frear um carro pode ser dividido em duas partes: o tempo de reação para o motorista começar a frear e o tempo necessário para que a velocidade chegue a zero depois que o freio é acionado. A distância total percorrida por um carro é 56,7   m quando a velocidade inicial é 80,5   k m / h e 24,4   m quando a velocidade inicial é 48,3   k m / h . Supondo que a aceleração permanece constante depois que o freio é acionado, determine (a) o tempo de reação do motorista e (b) o módulo da aceleração.

Passo 1

O problema nos diz que um motorista demanda um determinado tempo para acionar o freio do carro e, então, após esse tempo, ele passa a frear o carro com uma aceleração constante. Logo, podemos interpretar dois movimentos diferentes, no primeiro momento o carro está em MRU e percorre um determinado ∆ x , em seguida, no segundo movimento o carro passa se deslocar em MRUV até parar totalmente.

Considerando a posição inicial, quando o motorista decide frear, ou seja, x   é zero no início da primeira etapa, temos que a função do movimento da primeira parte do problema é dada por:

x t = x o + v o t

E considerando x o ' como sendo a posição que o carro está quando o motorista começa a frear, temos que a função do movimento da segunda parte (a partir do instante que o motorista aciona o freio) é:

x t = x o ' +   v o t - a t 2 2

A função da velocidade é:

v t = v o - a t

Outro ponto que precisamos ficar atentos é na unidade, se você analisar o enunciado a velocidade está em k m / h enquanto o deslocamento está em m e o tempo em s . Logo, precisamos unificar as unidades. Para isso, vou transformar tudo para o SI. Para transformar k m / h para m / s precisamos dividir por 3,6 . Logo,

v o r = 80,5 3,6 = 22,4   m / s

v o d = 48,5 3,6 = 13,4   m / s

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o MRU usando a função que caracteriza este movimento:

x t = x o + v o t

Como consideramos x o = 0 , então:

x o ' = v o t r

Considerando t r como o tempo de reação e x o ' a posição que o motorista começa a pisar no freio.

Substituindo os valores, encontramos duas equações para os dois movimentos:

x o r ' = 22,4 × t r

x o d ' = 13,4 × t r

Passo 3

Analisando agora o MRUV usando as funções explicitadas no primeiro passo:

x t = x o ' + v o t - a t 2 2

E usando também o momento em que o carro freia totalmente, ou seja, v t f = 0 . Assim:

v t f = v f = v o - a t f = 0

Isolando o t f :

t f = v o a

Usando a equação de movimento no instante em que o carro freia totalmente:

x t f = x f = x o ' + v o t f - a t f 2 2

Substituindo os valores de x f ’s dado no enunciado e o valor de t f que foi calculado acima para os dois movimentos:

56,7 = x o r ' + v o r × v o r a - a v o r a 2 2 = x o r ' + v o r 2 a - v o r 2 2 a = x o r ' + v o r 2 2 a

24,4 = x o d ' + v o d × v o d a - a v o d a 2 2 = x o d ' + v o d 2 a - v o d 2 2 a = x o d ' + v o d 2 2 a

Substituindo os valores das posições iniciais calculado no segundo passo e as velocidades iniciais dadas no problema:

56,7 = 22,4 t r + 22,4 2 2 a

24,4 = 13,4 t r + 13,4 2 2 a

Passo 4

Com as duas equações do passo anterior em mãos, precisamos resolver o sistema com duas incógnitas e duas equações:

56,7 = 22,4 t r + 250,9 a

24,4 = 13,4 t r + 89,8 a

Isolando o t r da equação 1 :

t r = 56,7 - 250,9 a 22,4

Substituindo o valor de t r na equação 2 :

24,4 = 13,4 × 56,7 - 250,9 a 22,4 + 89,8 a

24,4 = 0,6 × 56,7 - 250,9 a + 89,8 a = 34 - 150,5 a + 89,8 a

Organizando essa equação:

150,1 - 89,8 a = 34 - 24,4

60,3 a = 9,6

Isolando o a :

a = 60,3 9,6 = 6,3   m / s 2

Passo 5

Agora, após achar a aceleração, podemos usar este valor em uma das equações finais encontradas no terceiro passo. Para este, usaremos:

24,4 = 13,4 t r + 13,4 2 2 a

Substituindo o valor da aceleração ( a = 6,3   m / s 2 ) encontrado no passo anterior:

24,4 = 13,4 t r + 13,4 2 2 × 6,3 = 13,4 t r + 14,3

Isolando t r :

t r = 24,4 - 14,3 13,4 = 0,75   s

Portanto, o tempo de reação do motorista é 0,75   s .

Resposta

  1. t r = 0,75   s ;
  2. a = 6,3   m / s 2 .
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