Enunciado

Uma tira bimetálica, usada para controlar termostatos, é constituída de uma lâmina estreita de latão, de 2   m m de espessura, presa lado a lado com uma lâmina de aço, de mesma espessura d = 2   m m , por uma série de rebites. A 15 ° C , as duas lâminas têm o mesmo comprimento, igual a 15   c m , e a tira está reta. A extremidade A da tira é fixa; a outra extremidade B pode mover-se, controlando o termostato. A uma temperatura de 40 ° C , a tira se encurvou, adquirindo um raio de curvatura R , e a extremidade B se deslocou de uma distância vertical y . Calcule R e y , sabendo que o coeficiente de dilatação linear do latão é 1,9 × 10 - 5   / ° C e o do aço é 1,1 × 10 - 5   / ° C .

Passo 1

Vamos começar algumas relações geométricas no desenho:

Primeiro vamos observar que a diferença entre os raios é a espessura de uma tira:

R L = R A + d

E como as duas tiras compreendem o mesmo ângulo, podemos dizer que:

L A = R A θ

L L = R L θ

Então:

L A R A = L L R L

Nosso objetivo é calcular o maior raio ( R L )   , então vamos substituir:

L A R L - d = L L R L

E isolar:

R L - d R L = L A L L

1 - d R L = L A L L

1 - L A L L = d R L

R L = d 1 - L A L L

Passo 2

Beleza, então precisamos calcular a razão entre os dois comprimentos finais do latão e do aço para encontrar R L .

As duas tiras tem o mesmo comprimento inicial L 0 , então:

L L = L 0 1 + α L Δ T

L A = L 0 1 + α A Δ T

A razão é:

L A L L = 1 + α A Δ T 1 + α L Δ T = 1 + 1,1 × 10 - 5 40 - 15 1 + 1,9 × 10 - 5 40 - 15

L L L A = 1,000275 1,000475

Então o raio R L é:

R L = 0,002 1 - 1,000275 1,000475 ≈ 10   m

Passo 3

Ainda falta calcular o deslocamento vertical y da extremidade B .

Vamos começar calculando o ângulo θ . Podemos aproveitar uma das relações que escrevemos antes:

L L = R L θ

L 0 1 + 1,9 × 10 - 5 40 - 15 = 10 θ

θ = 0,15 1,000475 10 = 0,015   r a d

θ = 0,86 °

Com isso podemos completar nosso desenho:

y = R L - R L sen ⁡ 89,14 °

y = 10 1 - sen ⁡ 89,14 °

y = 1,126 × 10 - 3   m

y = 1,126   m m

Resposta

O raio é R = 10   m e o deslocamento vertical é y = 1,126   m m .

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