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Seu trabalho de conclusão de conclusão de curso envolve a amostragem atmosférica. O coletor de amostra tem uma massa de 25,0 kg. Estime o diâmetro do balão cheio de hélio necessário para levantar o coletor do chão. Despreze a massa do revestimento do balão e a pequena força de empuxo sobre o coletor.

Passo 1

Bom, aqui temos uma situação em que o balão juntamente com o coletor estão imersos em um fluido, no caso, o ar atmosférico. Quando isto acontece nós temos um força na direção oposta à força peso, chamada de empuxo. Dada por:

E = F g

A força da gravidade é:

F g = m g

Enquanto o empuxo é:

E = ρ f l u i d o V d e s l o c a d o . g

Bom, mas a gente quer uma relação entre com o volume do balão, certo? Então, como o volume de fluido deslocado será igual ao volume ocupado pelo balão:

E = ρ a r V b a l ã o . g

Agora sim! Substituindo as forças:

ρ a r V b a l ã o . g = m g

ρ a r V b a l ã o = m

Passo 2

Muito bem, achamos a equação para o volume do balão. Mas acabou?

Calma que ainda não, temo que achar a massa total do balão. Como a massa do revestimento do balão é desprezível, a massa total será dada somente em função da massa do coletor e da quantidade de hélio:

m = m c o l e t o r + m h é l i o

Da fórmula que já sabemos:

ρ h é l i o = m h é l i o V h é l i o → m h é l i o = ρ h é l i o . V h é l i o  

O volume ocupado pelo hélio será o volume do balão:

V h é l i o = V b a l ã o

Então:

m h é l i o = ρ h é l i o V b a l ã o

Substituindo na equação do passo 1:

ρ a r V b a l ã o = m c o l e t o r + ρ h é l i o V b a l ã o

Isolando o volume:

V b a l ã o = m c o l e t o r ρ a r - ρ h é l i o

Mas foi o volume que o problema nos pediu? Não ! Nós queremos achar o diâmetro do balão, que pode ser achado em função do seu volume.

Passo 3

Agora sim ! O volume é:

V b a l ã o = 4 3 π R ³

O raio se relaciona com o diâmetro como:

R = d 2

Então:

V b a l ã o = 1 6 π d ³

Na equação do Passo 2:

1 6 π d ³ = m c o l e t o r ρ a r - ρ h é l i o

O problema nos disse que:

m c o l e t o r = 25   k g

As massas específicas são tabeladas:

ρ a r = 1,293   k g / m ³

ρ h é l i o = 0,179   k g / m ³

Substituindo:

d ³ = 6 π . 25   k g 1,293   k g / m ³ - 0,179   k g / m ³

Tirando a raiz cúbica:

d = 3,5   m

Resposta

d = 3,5   m

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