Enunciado

Um trem com uma velocidade constante de 60,0   k m / h se move na direção leste por 40,0   m i n , depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0 º a leste com a direção norte por 20,0   m i n e, finalmente, na direção oeste por mais 50,0   m i n . Quais são

( a ) o módulo e

( b ) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?

Passo 1

Desenhando o trajeto percorrido pelo trem nós teremos algo como:

Na letra a queremos calcular o módulo da velocidade desse trem mas primeiro temos que calcular o módulo da distância percorrido por ela, uma vez que a velocidade é constante e tem um vetor proporcional a ela. E para começar a fazer essa questão vamos calcular o vetor distância de cada trecho.

Dessa forma, no primeiro trecho representa uma distância de:

s → = v → t

Onde s → é o vetor da distância. Lembrado que 40   min representa 2 3 hora , logo:

s 1 → = 60   km/h   i ^ ⋅ 2 3 h

s 1 → = 40   k m i ^

Encontrando a distância vetorial do segundo trecho e do terceiro trecho nós teremos:

s 2 → = 60 sin ⁡ 50 °   km i ^ + 60 cos ⁡ 50 °   km j ^ ⋅ 20 60 h

s 2 → = 2 0 sin ⁡ 50 °   km i ^ + 2 0 cos ⁡ 50 °   km j ^

E a distância vetorial de s 3 :

s 3 → = - 60   km/h i ^ ⋅ 50 60

s 3 → = - 50   km i ^

Então a distância vetorial total do trajeto será:

s → = 40 + 20 sin ⁡ 50 ° - 50 i ^ + 20 cos ⁡ 50 °   j ^   km

s → = 5 , 32   km i ^ + 12 , 86   km j ^

O módulo da distância será então igual a:

s = 5 , 32 2 + 12 , 86 2

s = 13.91   km

Passo 2

Só que queremos na letra a o módulo da velocidade do trem e para isso nós temos que fazer:

v = | s | t

Onde o tempo percorrido pelo trem em horas será de:

t = 40 + 20 + 50   min 60   min h

t = 11 6   h

Logo o módulo da velocidade será de:

v = 13 , 91 11 6

v = 7 , 59   km/h

Passo 3

Como o vetor da velocidade é proporcional ao vetor posição equivalente então podemos afirmar que:

v → = 1 t   5 , 32   km i ^ + 12 , 86   km j ^

Então o vetor velocidade terá um ângulo de:

θ = tan - 1 ⁡ 12 , 86 5 , 32

θ = 67.5   °   nordeste  (norte do leste)  

E como o tempo é constante e é de 110   min ele não faz diferença para a angulação do vetor velocidade resultante, já que a velocidade é constante pra todos os trechos. Também poderia usar a referência angular como sendo:

θ = 22,5 °   leste do norte

Resposta

  1. 7.59   km/h
  2. 67.5 °   norte do leste
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No tempo zero, uma partícula está em x=4,0 m e y=3,0 m e tem a velocidade v → = 2,0 m s i ^ + - 9,0 m s j ^ . A aceleração da partícula é constante e dada por a → = 4 , 0 m s 2 i ^ + 3 , 0 m s 2 j ^ .
Inicialmente, um falcão está se movendo para o oeste com uma rapidez de 30 m/s; 5,0 s após, ele está se movendo para o norte com uma rapidez de 20 m/s. (a) Qual é a magnitude e a orientação de ∆ v → d
As coordenadas de posição (x,y) de uma partícula são (2,0 m, 3,0 m) em t = 0 ; (6,0 m, 7,0 m) em t = 2,0s ; e (13 m, 14 m) em t = 5,0s . (a) Encontre a magnitude da velocidade média de t = 0 até t = 2
Você está pilotando um pequeno avião que pode manter, em ar parado, uma rapidez de 150 nós (um nó equivale a uma milha náutica por hora) e pretende voar para o norte (azimute = 000°) em relação ao chã
Uma nadadora visa diretamente a margem oposta de um rio, viajando a 1,6 m/s em relação à agua. Ela chega do outro lado 40 m rio abaixo. O rio tem uma largura de 80 m. (a) Qual é a rapidez da correntez