Três carros estão trafegando a 25 m/s na rodovia mostrada na FIGURA P 8.38 . O carro B encontra-se no fundo de um vale, entre as colinas, e o carro C, no topo de uma colina, tendo tanto o vale quanto a colina um raio de curvatura de 200 m . Suponha que, subitamente, cada carro seja freado fortemente e comece a derrapar. Quanto vale a aceleração tangencial (i.e., a aceleração paralela à rodovia) de cada carro? Considere que μ_c = 1,0 .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos analisar o problema para cada carro ( A , B e C ) separadamente.

O carro A está em uma estrada plana, o carro B no fundo de um vale (curvatura para cima) e o carro C no topo de uma colina (curvatura para baixo).

Todos estão inicialmente a  25   m / s  e começam a derrapar com coeficiente de atrito cinético  μ c = 1,0 . O raio de curvatura do vale e da colina é  R = 200   m .

Quando um carro derrapa, a força de atrito cinético atua na direção oposta ao movimento, proporcionando uma aceleração tangencial (paralela à estrada) que desacelera o carro. Além disso, devido à curvatura da estrada, há uma componente centrípeta da aceleração.

A aceleração total tem componentes tangencial e centrípeta.

No entanto, a pergunta pede especificamente a aceleração tangencial (paralela à estrada) durante a derrapagem.

A força de atrito cinético é dada por:

f a t = μ c N

onde  N  é a força normal.

A aceleração tangencial  a t ​ é causada pela componente da força de atrito ao longo da estrada. Como a força de atrito é oposta ao movimento, temos:

a t = - f a t m

mas o valor da força normal  N  depende da posição do carro (plano, vale ou colina) devido à curvatura.

Vamos calcular para cada caso:

Passo 2

Na estrada plana do carro A , a força normal é igual ao peso:

N = m g

A força de atrito é

f a t , A = μ c N = μ c m g

A aceleração tangencial é:

a t , A = - f a t m = - μ c g = - 1 ⋅ 9,8

a t , A = - 9,8   m / s 2

Show?

Passo 3

No fundo do vale (carro B ), a estrada está curvada para cima (como um círculo convexo). A força normal é maior que o peso devido à aceleração centrípeta.

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (para cima, que é o centro da curvatura):

N - m g = m v 2 R

N = m g + m v 2 R

Portanto, a força de atrito é:

f a t , B = μ c N = μ c m g + m v 2 R

f a t , B = μ c m g + v 2 R

E consequentemente, a aceleração tangencial é:

a t , B = - f a t , B m = - μ c m g + v 2 R m

a t , B = - μ c g + v 2 R

Substituindo os valores do enunciado:

a t , B = - 1 9,8 + 25 2 200

a t , B = - 12,9   m / s 2

Tranquilo?

Passo 4

Por fim, no topo da colina (carro C ), a estrada está curvada para baixo (círculo côncavo). A força normal é menor que o peso.

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (para baixo, que é o centro da curvatura):

m g - N = m v 2 R

N =   m g - m v 2 R

N =   m g - v 2 R

Repetindo o cálculo da força de atrito:

f a t , C = μ c N = μ c   m g - v 2 R

E a aceleração tangencial é:

a t , C = - f a t , C m = - μ c   m g - v 2 R m

a t , C = - μ c g - v 2 R

E substituindo os dados do enunciado:

a t , C = - 1 9,8 - 25 2 200

a t , C = - 6,6   m / s 2

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a t , A = - 9,8   m / s 2

a t , B = - 12,9   m / s 2

a t , C = - 6,6   m / s 2

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