Enunciado

Três estrelas, cada uma com a massa do Sol, formam um triângulo equilátero com lados de 1,0 × 10 12   m . (Este triângulo se encaixaria com precisão na órbita de Júpiter). O triângulo precisa girar, pois, do contrário, as estrelas colidiriam no centro. Qual é o período de rotação? Expresse sua resposta em anos.

Dados:

Massa do sol: M = 1,989 × 10 30   k g

Constante gravitacional universal: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 k g 2

Passo 1

Uma ilustração pode ajudar a gente a entender melhor a situação:

Essas no desenho são as forças gravitacionais que cada estrela “sofre” e “exerce”. Mas, como diz o enunciado, o conjunto das estrelas precisa rotacionar, pois do contrário elas colidiriam no centro do triângulo.

Se a gente decompõe essas forças em suas componentes radial e tangencial, você vai ver que vamos chegar a uma força resultante centrípeta, que é a causadora da rotação do conjunto das estrelas.

Considerando as estrelas todas idênticas entre si, o trabalho que fazemos pra uma delas vale exatamente igual pras outras, certo? Decompondo as duas forças que agem na estrela 1 nas componentes tangencial e radial, temos os seguintes esquemas:

Se você reparar, as componentes tangenciais F → 2 - 1 t e F → 3 - 1 t , de mesmo módulo, direção mas sentidos diferentes, se anulam.

Assim, a força resultante derivada das forças gravitacionais é uma força centrípeta (que aponta pro centro), que equivale ao somatório das forças F → 2 - 1 r e F → 3 - 1 r .

Agora, a gente precisa determinar o módulo dessas duas forças, e dá pra fazer isso analisando os seguintes triângulos retângulos que existem nas figuras acima:

Passo 2

Agora, a gente precisa determinar o módulo dessas duas forças, F → 2 - 1 r e F → 3 - 1 r e dá pra fazer isso analisando os seguintes triângulos retângulos que existem nas figuras acima:

A gente pode escrever a seguinte relação trigonométrica:

cos ⁡ 30 ° = F → 2 - 1 r F → 2 - 1

F → 2 - 1 r = F → 2 - 1 ∙ cos ⁡ 30 °

∴ F → 2 - 1 r = F → 2 - 1 ∙ 3 2

Fazemos o mesmo agora:

cos ⁡ 30 ° = F → 3 - 1 r F → 3 - 1

F → 3 - 1 r = F → 3 - 1 ∙ cos ⁡ 30 °

∴ F → 2 - 1 r = F → 2 - 1 ∙ 3 2

No fim das contas, elas têm o mesmo módulo, e isso já era de se esperar, pois estamos trabalhando dentro de um triângulo equilátero e com estrelas idênticas.

Passo 3

Como já concluímos, o módulo força resultante, centrípeta, causadora do movimento circular das estrelas, é a soma dos módulos das forças F → 2 - 1 r e F → 3 - 1 r . Escrevemos isso:

F c p = F → 2 - 1 r + F → 3 - 1 r

Substituímos pelas expressões que achamos pra essas forças:

F c p = F → 2 - 1 ∙ 3 2 + F → 2 - 1 ∙ 3 2

Podemos colocar 3 2 em evidência e escrever:

F c p = 3 2 ∙ F → 2 - 1 + F → 2 - 1

Certo, agora já podemos escrever algumas coisas que já sabemos. O módulo da força centrípeta vale:

F c p = M ∙ v 2 r

Onde v é a velocidade da rotação do triângulo (translação das estrelas) e r é o raio da órbita

E o módulo da forças gravitacionais F → 2 - 1 e F → 3 - 1 valem:

F → 2 - 1 = F → 3 - 1 = G ∙ M ∙ M l 2

Onde l é o tamanho do lado do triângulo equilátero, que é a distância entre as estrelas.

Por fim, a gente vai poder escrever o seguinte:

M ∙ v 2 r = 3 2 ∙ G ∙ M ∙ M l 2 + G ∙ M ∙ M l 2

Simplificando, teremos:

M ∙ v 2 r = 3 2 ∙ 2 ∙ G ∙ M ∙ M l 2

M ∙ v 2 r = 3 ∙ G ∙ M ∙ M l 2

Passo 4

Antes de a gente continuar trabalhando nessa última equação, a gente precisa correlacionar o raio r da órbita com o lado l do triângulo equilátero. Vamos fazer isso também com trigonometria. Olha só:

Escrevemos:

cos ⁡ 30 ° = l / 2 r

cos ⁡ 30 ° = l 2 r = 3 2

l r = 3

∴ r = l 3

Agora, voltamos a trabalhar naquela equação a que chegamos, substituindo r por l 3 .

Passo 5

Vamos ter:

M ∙ v 2 l 3 = 3 ∙ G ∙ M ∙ M l 2

Simplificamos o que for possível:

M ∙ v 2 ∙ 3 l = 3 ∙ G ∙ M ∙ M l 2

M ∙ v 2 l = G ∙ M ∙ M l 2

v 2 = G ∙ M l

∴ v = G ∙ M l

E, assim, chegamos a uma expressão pra velocidade orbital!

Passo 6

Agora você vai ver que, com essa expressão pra velocidade orbital v , conseguimos uma expressão pro período orbital T .

Lá da cinemática, você sabe que a velocidade de um corpo nada mais é que a distância d que ele percorre sobre o tempo t , levado pra percorrê-la, certo? Assim:

v = d t

Pro nosso caso, de uma volta completa pela órbita circular (uma rotação do triângulo), essa distância equivale ao comprimento da circunferência da órbita: d = 2 π r ; o tempo pra isso acontecer vale T (período), assim, t = T .

Temos assim, a seguinte expressão pra velocidade orbital:

v = 2 π r T = G ∙ M l

Como queremos o período T de rotação do triângulo (translação das estrelas), isolamos T e obtemos:

T = 2 π r G ∙ M l

Aqui, lembre-se, r = l 3 . Assim:

T = 2 π l 3 G ∙ M l

T = 2 π l 3 ∙ G ∙ M l

Passo 7

Basta agora aplicarmos os valores que temos na expressão e determinar o período. Vamos ter:

T = 2 ∙ 3,14 ∙ 1,0 × 10 12 3 ∙ 6,67 × 10 - 11 ∙ 1,989 × 10 30 1,0 × 10 12

Jogamos isso na calculadora e teremos no final:

T ≅ 3,15 × 10 8   s

Passo 8

Nos foi pedido o período T de rotação do triângulo em anos. Pra isso, consideramos um ano de 365 dias.

Sabe-se que 1 dia tem 86400 segundos. Assim, quantos segundos temos em um ano de 365 dias?

365   d i a s a n o ∙ 86400   s d i a ≅ 3,15 × 10 7   s a n o

Agora, dividimos o período T em segundos pela quantidade de segundos que há em 1 ano e vamos determinar T ( a n o ) :

T a n o = 3,15 × 10 8   s   3,15 × 10 7   s a n o

∴ T a n o = 10   a n o s

Resposta

T a n o = 10   a n o s

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