Enunciado

Use a fórmula de Euler e as regras para cálculo de produto e potências de números complexos para calcular: (a) cos ⁡ a + b e sen ⁡ a + b ; (b) cos ⁡ 3 a e sen ⁡ ( 3 a ) em função de cos ⁡   e sen ⁡   de a e b .

Passo 1

(a) A fórmula de Euler é a seguinte:

e i x = cos ⁡ x + i sen ⁡ x

Usando essa relação, podemos definir o cosseno assim:

cos ⁡ x = e i x + e - i x 2

Para verificar essa relação é só substituir com a fórmula de cima. Agora vamos ver o que acontece com cos ⁡ a + b :

cos ⁡ a + b = e i a + b + e - i a + b 2

cos ⁡ a + b = e i a e i b + e - i a e - i b 2

Usando a fórmula de Euler:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a + i sen ⁡ a cos ⁡ b + i sen ⁡ b + cos ⁡ - a + i sen ⁡ - a cos ⁡ - b + i sen ⁡ - b 2

Lembrando que cos ⁡ - x = cos ⁡ x e sen ⁡ - x = - sen ⁡ x :

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a + i sen ⁡ a cos ⁡ b + i sen ⁡ b + cos ⁡ a - i sen ⁡ a cos ⁡ b - i sen ⁡ b 2

Agora vamos multiplicar os parênteses:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b + i cos ⁡ a sen ⁡ b + i sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b 2 + cos ⁡ a cos ⁡ b - i cos ⁡ a sen ⁡ b - i sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b 2

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

Passo 2

Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa para sen ⁡ a + b :

sen ⁡ x = e i x - e - i x 2 i

Agora vamos ver o que acontece com sen ⁡ a + b :

sen ⁡ a + b = e i a + b - e - i a + b 2 i

sen ⁡ a + b = e i a e i b - e - i a e - i b 2 i

Usando a fórmula de Euler:

sen ⁡ a + b = cos ⁡ a + i sen ⁡ a cos ⁡ b + i sen ⁡ b - cos ⁡ - a + i sen ⁡ - a cos ⁡ - b + i sen ⁡ - b 2 i

Lembrando que cos ⁡ - x = cos ⁡ x e sen ⁡ - x = - sen ⁡ x :

sen ⁡ a + b = cos ⁡ a + i sen ⁡ a cos ⁡ b + i sen ⁡ b - cos ⁡ a - i sen ⁡ a cos ⁡ b - i sen ⁡ b 2 i

Agora vamos multiplicar os parênteses:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b + i cos ⁡ a sen ⁡ b + i sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b 2 i + - cos ⁡ a cos ⁡ b + i cos ⁡ a sen ⁡ b + i sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b 2 i

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Passo 3

(b) Agora vamos ver o que acontece para cos ⁡ 3 a . Usando a mesma fórmula de antes:

cos ⁡ x = e i x + e - i x 2

cos ⁡ 3 a = e i 3 a + e - i 3 a 2

cos ⁡ 3 a = e i a 3 + e - i a 3 2

E usando cos ⁡ - x = cos ⁡ x e sen ⁡ - x = - sen ⁡ x :

cos ⁡ 3 a = cos ⁡ a + i sen ⁡ a 3 + cos ⁡ a - i sen ⁡ a 3 2

Abrindo esses produtos notáveis, ficamos com o seguinte:

cos ⁡ 3 a = cos 3 ⁡ a + i 3 sen ⁡ a cos 2 ⁡ a - sen 3 ⁡ a - 3 sen 2 ⁡ a cos ⁡ a 2 + cos 3 ⁡ a - i 3 sen ⁡ a cos 2 ⁡ a - sen 3 ⁡ a - 3 sen 2 ⁡ a cos ⁡ a 2

cos ⁡ 3 a = cos 3 ⁡ a - 3 sen 2 ⁡ a cos ⁡ a

Passo 4

(b) Agora vamos ver o que acontece para sen ⁡ 3 a . Usando a mesma fórmula de antes:

sen ⁡ x = e i x - e - i x 2 i

sen ⁡ 3 a = e i 3 a - e - i 3 a 2 i

sen ⁡ 3 a = e i a 3 - e - i a 3 2 i

E usando cos ⁡ - x = cos ⁡ x e sen ⁡ - x = - sen ⁡ x :

sen ⁡ 3 a = cos ⁡ a + i sen ⁡ a 3 - cos ⁡ a - i sen ⁡ a 3 2 i

Abrindo esses produtos notáveis, ficamos com o seguinte:

sen ⁡ 3 a = cos 3 ⁡ a + i 3 sen ⁡ a cos 2 ⁡ a - sen 3 ⁡ a - 3 sen 2 ⁡ a cos ⁡ a 2 i - cos 3 ⁡ a - i 3 sen ⁡ a cos 2 ⁡ a - sen 3 ⁡ a - 3 sen 2 ⁡ a cos ⁡ a 2 i

sen ⁡ 3 a = 3 cos 2 ⁡ a sen ⁡ a - sen 3 ⁡ a

Resposta

(a) cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b   e sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a .

(b) cos ⁡ 3 a = cos 3 ⁡ a - 3 sen 2 ⁡ a cos ⁡ a e sen ⁡ 3 a = 3 cos 2 ⁡ a sen ⁡ a - sen 3 ⁡ a .

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