Enunciado

Um bloco de 1,2   k g deslizando em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal com k = 480   N / m . Seja x o deslocamento do bloco a partir da posição na qual a mola se encontra relaxada. No instante t = 0 , o bloco passa pelo ponto x = 0 com uma velocidade de 5,2   m / s no sentido positivo de x . Qual é (a) a frequência e (b) a amplitude do movimento do bloco? (c) Escreva uma expressão para o deslocamento x em função do tempo.

Passo 1

Beleza, temos uma questão clássica de oscilador harmônico.

A letra (a) pede a frequência da oscilação. Vamos usar a fórmula de sempre:

f = 1 2 π k m

f = 1 2 π 480 1,2 = 3,2   H z

Até aqui sem problemas.

Passo 2

A letra (b) pede a amplitude do movimento do bloco.

A questão disse que no instante t = 0 , o bloco passa pelo ponto x = 0 com uma velocidade v = 5,2   m / s .

Como x = 0 deve ser o ponto de equilíbrio em uma mola horizontal, e a mola atinge a velocidade máxima no ponto de equilíbrio, a gente pode concluir que essa é a velocidade máxima da mola.

E lembrando da fórmula para a velocidade máxima:

v m á x = ω A

v m á x = A k m

v m á x = A 480 1,2 = 20 A

Logo:

5,2 = 2 0 A

A = 5,2 20

A = 0,26   m

Passo 3

A letra (c) pede uma expressão pra x(t), isso é tranquilo, pois é só usarmos a função do oscilador harmônico:

x t = A cos ⁡ ω t + φ

Já calculamos a amplitude:

A = 0,26   m

E a frequência angular também:

ω = k m

ω = 480 1,2

ω = 20   rad/s

Agora falta achar a constante de fase φ . Como no instante t = 0 , o enunciado diz que x = 0 .

x 0 = A cos ⁡ ω 0 + φ

0 = A cos ⁡ ( φ )

φ = π 2

Substituindo isso tudo na equação de cima:

x t = 0,26 cos ⁡ 20 t + π 2

Como cos ⁡ x + π 2 = sen ⁡ ( x ) :

x t = 0,26 s e n ⁡ 20 t

Pronto!

Resposta

(a) f = 3,2   Hz

(b) A = 0,26   m

(c) x t = 0,26 s e n ⁡ 20 t  

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