Enunciado

Um tubo cilíndrico cuja secção transversal tem área A está dobrado em forma de V , com um ramo vertical e o outro formando um ângulo φ com a vertical, e contém uma massa M de líquido de densidade ρ . Produz-se um pequeno desnível entre um ramo e outo. Calcule a frequência angular de oscilação da massa líquida.

Passo 1

Imagine uma pequena coluna de líquido, do lado esquerdo do tubo, com altura z . A massa dessa coluna é:

m = ρ A z

Se você pressionar essa coluna para baixo do lado esquerdo, a mesma quantidade de água vai subir do lado direito:

Passo 2

Vamos procurar uma expressão para a energia total do sistema durante esse deslocamento:

E T = U + K

Para a energia cinética, temos:

K = 1 2 M z ˙ 2

Onde M é a massa total do líquido. Para a energia potencia vamos considerar o deslocamento da nossa massa m :

U = m g z C M

Onde z C M é posição do C M da massa deslocada, conforme representamos no desenho:

U = ρ A z g z 1 + cos ⁡ φ 2

U = ρ g A z 2 1 + cos ⁡ φ 2

Então a energia total é:

E T = ρ g A z 2 1 + cos ⁡ φ 2 + 1 2 M z ˙ 2

Passo 3

Pela lei de conservação de energia, temos que:

d d t E T = 0

d d t E T = d d t ρ g A z 2 1 + cos ⁡ φ 2 + 1 2 M z ˙ 2 = 0

Não esqueça de aplicar a regra da cadeia para derivar z 2 e z ˙ 2 em relação ao tempo:

ρ g A z z ˙ 1 + cos ⁡ φ + M z ˙ z ¨ = 0

Dividindo os dois lados por z ˙ :

z ¨ + ρ g A 1 + cos ⁡ φ M   z = 0

Que é a equação de um oscilador harmônico com a seguinte frequência angular:

ω = ρ g A 1 + cos ⁡ φ M

Resposta

A frequência angular é ω = ρ g A 1 + cos ⁡ φ M .

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