Enunciado

A figura mostra uma máquina de Carnot que trabalha entre as temperaturas T 1 = 400   K e T 2 = 150   K e alimenta um refrigerador de Carnot que trabalha entre as temperaturas T 3 = 325   K e T 4 = 225   K . Qual é a razão Q 3 / Q 1 ?

Passo 1

Vamos começar lembrando das definições para a eficiência do motor e do refrigerador de Carnot.

Primeiro, pela própria definição de eficiência do motor, temos:

ε m o t = W Q 1

Mas, para o motor de Carnot, também vale a seguinte fórmula:

ε m o t = T 1 - T 2 T 1

Segundo, a definição de eficiência do refrigerador é:

ε r e f = Q 4 W

E para o refrigerador de Carnot, também vale:

ε = T 4 T 3 - T 4

E W é igual para os dois, já que nesse caso o motor está alimentando o refrigerador. Então ficamos com o seguinte sistema de equações:

Q 4 W = T 4 T 3 - T 4 W Q 1 = T 1 - T 2 T 1

Passo 2

Pensando apenas em termos de conservação de energia, podemos encontrar expressões para W :

Q 1 = W + Q 2

Q 3 = Q 4 + W

Como nosso objetivo é calcular Q 3 / Q 1 , vamos substituir essa última equação na primeira equação do nosso sistema:

Q 3 - W W = T 4 T 3 - T 4

Q 3 W - 1 = T 4 T 3 - T 4

Agora vamos isolar W na segunda equação do sistema e substituir nessa última:

W = T 1 - T 2 T 1 Q 1

Então:

Q 3 T 1 T 1 - T 2 Q 1 - 1 = T 4 T 3 - T 4

Passo 3

Agora vamos tentar usar essa última relação para calcular Q 3 / Q 1 :

Q 3 T 1 Q 1 T 1 - T 2 - 1 = T 4 T 3 - T 4

Q 3 Q 1   T 1 T 1 - T 2 = T 4 T 3 - T 4 + 1

Q 3 Q 1 = T 4 T 3 - T 4 + 1 T 1 - T 2 T 1

Por fim, vamos simplificar um pouco essa expressão:

Q 3 Q 1 = T 4 T 3 - T 4 + T 3 - T 4 T 3 - T 4 T 1 - T 2 T 1

Q 3 Q 1 = T 3 T 1 - T 2 T 1 T 3 - T 4

Vamos dividir o numerador e o denominador por T 3 T 1 :

Q 3 Q 1 = 1 - T 2 / T 1 1 - T 4 / T 3

Passo 4

Agora vamos substituir os valores numéricos:

Q 3 Q 1 = 1 - 150 / 400 1 - 225 / 325

Q 3 Q 1 = 2,03

Resposta

A razão entre os calores é 2,03 .

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