Enunciado

(a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50 m? (b) Por quanto tempo permanece no ar? (c) Esboce os gráficos de y , v e a em função de t para a bola. Nos dois primeiros gráficos, indique o instante no qual a bola atinge a altura de 50 m.

Passo 1

(a) Galera, quando a altura é máxima, a velocidade será zero!! Isso porque é o ponto onde o objeto para de subir e começa a cair. Ok?

Sabendo disso, vamos pôr as informações que temos na equação de Torricelli dada como:

v 2 = v 0 2 + 2 g Δ y

Isolando v 0 :

v 0 = v 2 - 2 g Δ y

Como a velocidade final é nula, v 0 = 0 , dado g = - 9,8   m/s² e ∆ y = 50   m , vamos obter que:

v 0 = 0 2 - 2 . - 9,8 . 50

v 0 = 31   m/s

Passo 2

(b) Vamos usar a função horária da velocidade para descobrir o tempo de subida da bola:

v = v 0 + g t

Isolando t :

t = v - v 0 g

t = 0 - 31 - 9,8

t = 3,2   s

A bola sobe e desce, certo? E como o tempo de subida é igual ao de descida, então ela permanece no ar um tempo igual duas vezes seu tempo de subida. Portanto, ela fica no ar por 6,4 s .

Passo 3

(c) Pela função horária da posição:

y ( t ) = y 0 + v 0 t + g t 2 2

y t = 31 t - 4,9 t 2

Sabemos que a velocidade é a derivada da função posição e que a aceleração é a derivada da velocidade, então temos:

v t = y ' t = 31 - 9,8 t

a t = v ' t = - 9,8

Plotando essas funções, vamos obter que:

A indicação de quando a bola atinge os 50m de altura está nessas bolinhas vermelhas.

Prontinho! 😊

Resposta

a) 31 m / s

b) 6,4 s

(c)

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