Enunciado

Influência da Lua. Algumas pessoas acreditam que suas atividades são controladas pela Lua. Se a Lua estava do outro lado da Terra, ao longo de uma reta que passava por você e pelo centro da Terra, e passa para outra posição diametralmente oposta, verticalmente acima da sua cabeça, qual é a variação percentual (a) da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e (b) do seu peso? Suponha que a distância Terra-Lua (de centro a centro) é de 3,82 × 10 8 m e que o raio da Terra é de 6,37 × 10 6 m .

Passo 1

Falaaaa galerinha do RespondeAí, show de bolinhas com vocês?

(a) Bom, para saber a variação percentual, precisamos calcular a razão de atração gravitacional que a lua exerce sobre um corpo na Terra quando ela se encontra nos momentos mais próximo e mais afastado dele. Assim, temos:

Ponto inicial da Lua (mais afastada):

F 0 = G M L m R L T + R T 2

Ponto final da Lua (mais perto de você):

F 1 = G M L m R L T - R T 2

onde M L é a massa da Lua, R L T é a distância entre o centro da Lua e o centro da Terra e R T é o raio da Terra. Assim, dividindo uma equação pela outra, a gente obtém:

F 1 F 0 = G M L m R L T - R T 2 G M m m R L T + R T 2

Simplificando a fração:

F 1 F 0 = R L T + R T 2 R L T - R T 2

E substituindo os valores que o enunciado nos dá:

F 1 F 0 = 3,82 × 10 8 + 6,37 × 10 6 2 3,82 × 10 8 - 6,37 × 10 6 2

F 1 F 0 = 1,06898

Dessa forma, temos que a força final da Lua é 1,06898 vezes maior que a inicial. (Obs.: para saber a variação percentual é só multiplicar esse fator por 100 , ficando 106,898 % )

Logo, quando a Lua está mais próxima da Terra, há um aumento da intensidade gravitacional gerada pela Lua de aproximadamente 6,9%, porque é a quantidade que está acima dos 100 % .

Passo 2

(b) Vamos pensar nas forças que agem sobre você, ok? Temos as forças de atração da Lua e da Terra, em direções opostas, quando a Lua está acima de você. Como seu peso está de acordo com a força gravitacional da Terra, a Lua estaria diminuindo ele, quando está em cima de você. Pois ela o puxaria na direção oposta.

Dessa forma, seu peso vai variar de acordo com a força que a Lua exerce sobre você, certo? Já que a força da Terra não muda... Logo, precisamos saber o quanto a força da Lua variou para saber quanto seu peso variou. E sabemos que a força da Lua varia de F 0 para F 1 .

A variação de peso é:

F 1 - F 0 = G M L m R L T - R T 2 - G M L m R L T + R T 2

Colocando G M L m em evidência:

F 1 - F 0 = G M L m 1 R L T - R T 2 - 1 R L T + R T 2

Por outro lado, o peso pode escrito, na escala da Terra, como

F g = m g T = G M T m R T 2

Assim, a variação percentual da redução de peso é:

F 1 - F 0 F g = G M L m 1 R L T - R T 2 - 1 R L T + R T 2 G M T m R T 2

Podemos simplificar o G m e arrumar essa divisão de frações passando o R T 2 para o numerador:

F 1 - F 0 F g = M L R T 2 1 R L T - R T 2 - 1 R L T + R T 2 M T

Assim, só deixando mais bonitinho:

F 1 - F 0 F g = M L M T ∙ R T 2 1 R L T - R T 2 - 1 R L T + R T 2

Então, procurando no google, podemos achar que a massa da Lua é 0,0123 Terras, ou seja: M L M T = 0,0123 , ok?? Isso já nos ajuda nas contas. Vamos substituir todos os valores que sabemos, então:

F 1 - F 0 F g = 0,0123 ∙ 6,37 ∙ 10 6 2 ∙ 1 3,82 ∙ 10 8 - 6,37 ∙ 10 6 2 - 1 3,82 ∙ 10 8 + 6,37 ∙ 10 6 2

Fazendo essa conta monstra:

F 1 - F 0 F g ≈ 2,28 ∙ 10 - 7

O que da uma variação percentual muito pequena. Para achar o percentual, é só multiplicar por 100, igual na letra anterior:

2,28 ∙ 10 - 7 ≈ ( 2,3 ∙ 10 - 5 ) %

Resposta

(a) Aproximadamente 6,9 %

(b) Aproximadamente 2,3 × 10 - 5 %

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