Enunciado

Uma viga de 40   k g e 5,0   m de comprimento é sustentada, sem estar fixada, pelas duas pilastras mostradas na FIGURA P12.64. Um garoto de 20   k g começa a caminhar ao longo da viga. Quão próximo ele pode chegar da extremidade direita da viga sem que ela tombe?

Passo 1

Bom, à medida que o garoto anda para a extremidade direita da viga, ele se distancia do segundo suporte, que será o eixo de rotação quando a viga girar. Quanto mais ele se distancia, maior é o efeito do torque já que:

τ = F d

A força é o peso do rapaz, e ela é constante durante todo o processo, mas se a distância aumentar o torque aumenta também, e isso pode causar rotação na viga se o peso da viga não for suficientemente grande. Como estamos numa situação de iminência, a força normal produzida pelo primeiro suporte é muito próxima de zero.

Passo 2

Vamos calcular até onde o garoto pode andar na viga sem que ela vire, para isso, precisaremos da segunda lei de Newton para o caso rotacional:

∑ τ = 0

O lado direito precisa ser zero porque não queremos que a viga rotacione.

Se a gente considerar que o sentido anti-horário é o sentido positivo de rotação, o peso da barra produz um torque no sentido anti-horário e o peso do menino no sentido horário:

A soma dos torques então fica:

F v d v - F r d r = 0

Sendo que r se refere ao rapaz e v à viga.

Passo 3

Agora calculamos o peso de cada um e a distância do centro de massa da viga até o ponto onde está o eixo de rotação:

F v = m v g = ( 40   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) = 392   N

F r = m r g = ( 20   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) = 196   N

d v = 3,0   m - 5,0   m 2 = 0,5   m

O que fizemos na última equação foi: pegamos a posição do eixo, 3,0   m , e subtraímos esse valor pela posição do centro de massa da viga, que está exatamente no meio da viga, como ela tem 5,0   m de comprimento, a posição do centro de massa tem que ser 2,5   m .

Passo 4

Então é só isolar d r que é a distância na viga que o rapaz pode ficar em relação ao eixo:

d r = F v d v F r

E substituir cada valor:

d r = ( 392   N ) ( 0,5   m ) 196   N

d r = 1,0   m

Até 1,0   m de distância do eixo, o garoto pode andar sem que a viga tombe, como o enunciado pede a distância em relação à extremidade direita então:

d = 5,0   m - 1,0 m = 4,0   m

4,0   m é a distância mais próxima da extremidade direita que o garoto pode chegar.

Resposta

4,0   m

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