Enunciado

Uma violinista afina uma corda de violão para uma frequência fundamental de 440   H z . (a) Qual será a frequência fundamental se ela aumentar a tensão da corda em 20 % ? (b) Qual será a frequência se, em vez disso, ela diminuir o comprimento efetivo da corda deslocando o dedo da posição da cravelha para um terço da distância até a ponte, na outra extremidade da corda?

Passo 1

Qual é a fórmula que conhecemos envolvendo a tensão sobre uma corda:

v = τ μ

Onde τ é a tensão e μ é a denisidade linear da corda. Para relacionar isso com a frequência, temos que reescrever a velocidade:

λ f = τ μ

E agora vamos comparar o caso antes e depois de a tensão aumentar de τ para τ ' :

τ ' = 1,2   τ

λ ' f ' λ f = τ ' / μ τ / μ

Passo 2

(a) Como estamos lidando sempre com o primeiro harmônico, e o comprimento da corda não muda, os comprimentos de onda λ e λ ' são iguais:

f ' f = τ ' / μ τ / μ

E o mesmo vale para a densidade linear da corda:

f ' f = τ ' τ = 1,2   τ τ

f ' f = 1,2

f ' = 1,2 440 = 482   H z

Passo 3

(b) Nesse caso, a tensão e a densidade linear da corda permanecem iguais, mas agora o comprimento da corda muda, então o comprimento da onda no primeiro harmônico também muda:

λ = 2 L n = 2 L

λ ' = 2 L ' n = 2 L '

Como a velocidade da onda é igual nos dois casos (já que τ e μ são constantes), então:

λ f = λ ' f '

2 L f = 2 L ' f '

Mas o enunciado diz que L ' = 2 3 L , então:

2 L f = 2 2 3 L f '

f ' = 6 4 f

f ' = 6 4 440 = 660   H z

Resposta

(a) f ' = 482   H z .

(b) f ' = 660   H z .

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