Enunciado

Você está girando sua irmã mais nova em um círculo de raio r = 0,75   m , como mostrado na figura. Se a massa dela é 25   k g e você faz com que ela complete uma revolução a cada 1,5   s , (a) qual é a magnitude e a direção da força que deve ser exercida por você sobre ela? (b) Qual é a magnitude e a direção da força que ela exerce sobre você?

Passo 1

a) Olá! Então temos uma situação onde há movimento circular que pode ser esquematizada assim:

A gente imagina que sua irmã é uma partícula como diz no enunciado. E que como na foto a menina fica um pouco inclinada em relação ao solo, vamos imaginar que há essa inclinação entre o plano horizontal e a força que você exerce sobre ela para haver o movimento.

Como a gente quer descobrir essa força e sua orientação, vamos fazer um diagrama de corpo livre da situação:

As componentes de F → são:

F x = F cos ⁡ θ

F y = F   s e n   θ

Percebe que para que haja uma trajetória circular, é necessário que acha uma força no plano da circunferência apontando para o centro da trajetória. Quem vai fazer esse papel é F x , porque o movimento da menina só ocorre no plano horizontal.

Ou seja, a ideia é ela gire apenas em um plano horizontal, ou seja, sem nenhum movimento no eixo y , por isso queremos que haja equilíbrio na vertical. Pela segunda lei de Newton:

∑ F y = m a y

∑ F y = 0

F x - F g = 0

F sen ⁡ θ - m g = 0

F   s e n   θ = m g   i

Passo 2

E na direção horizontal temos as forças que mantém a trajetória circular. Aplicando a segunda lei de Newton para direção x :

∑ F x = m a x

F x = m a x

F cos ⁡ θ = m a x

Mas lembra que esse a x é a aceleração horizontal da força resultante sobre a pedra. Só que na horizontal temos um movimento circular e força resultante é uma força centrípeta, então a aceleração horizontal é a aceleração centrípeta, que é dada por a = v 2 / r . Substituindo:

F cos ⁡ θ = m v 2 r

E para o movimento circular, temos essa fórmulinha para a velocidade v :

v = Δ s Δ t = 2 π r T

Já que a trajetória é uma circunferência de raio r , e o tempo de percurso é o tempo de revolução T . Substituindo isso na equação anterior:

F cos ⁡ θ = m r 2 π r T 2 i i

Passo 3

Temos um sistema de equações formado por i e i i :

F sen ⁡ θ = m g F cos ⁡ θ = m r 2 π r T 2

Percebe que ele relaciona só quem a gente quer, F com a orientação dela θ . Então precisamos apenas resolver esse cara.

Dividindo a primeira equação pela segunda ficamos com o seguinte resultado:

tan ⁡ θ = g T 2 4 π 2 r

Substituindo os dados e isolando θ :

tan ⁡ θ = 9,81 1,5 2 4 π 2 ( 0,75 )

θ = 36,7 °

Passo 4

E agora podemos substituir isso em qualquer uma das equações para encontrar o módulo de F :

F sen ⁡ θ = m g

F = m g sen ⁡ θ

F = 25 9,81 sen ⁡ 36,7 ° = 410   N = 0,41 k N

E a direção dessa força está indicada no desenho, forma um ângulo de 36,7 ° com a horizontal no sentido anti-horário.

Passo 5

(b) A terceira lei de Newton diz que se um corpo 1 exerce uma força sobre o corpo 2, o corpo 2 vai exercer sobre o corpo 1 uma força de magnitude igual e sentido oposto.

Assim a força que a criança exerce sobre você tem a mesma magnitude e direção, mas sentido oposto.

Ou seja, ela exerce F = 410   N , mas dessa vez formando um ângulo de 36,7 ° + 180 ° = 216,7 ° com a horizontal. (a gente soma 180 ° para ter uma orientação que representa o sentido inverso)

Obs: Ficamos diferentes do gabarito, mas é porque provavelmente eles consideraram o ângulo que a força faz com a vertical e não com a horizontal. Então deve ser um errinho deles mesmo, tá?

Resposta

(a) A força é de 410   N , formando 36,7 ° com a horizontal ( θ = 0 ° ).

(a) A força é de 410   N , formando 216,7 ° com a horizontal ( θ = 0 ° ).

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