Enunciado

Na pista de um aeroporto fora de operação, um carro de 2000   k g viaja com rapidez constante de 100   k m / h . A 100   k m / h o arrasto do ar sobre o carro é 500   N . Considere que o atrito de rolamento é desprezível. (a) Qual é a força de atrito estático exercida sobre o carro pela superfície da pista, e qual é o mínimo coeficiente de atrito estático necessário para que o carro mantenha essa rapidez? (b) O carro continua a viajar a 100   k m / h , mas agora por um caminho com raio de curvatura r . Para qual valor de r o ângulo entre o vetor da força de atrito estático e o vetor da velocidade será igual a 45,0 ° , e para qual valor de r ele será igual a 88,0 ° ? Qual é o coeficiente de atrito estático mínimo necessário para o carro manter esse último raio de curvatura sem derrapar?

Passo 1

(a) A força de atrito estático que a superfície da pista exerce sobre o carro é justamente a força que impulsiona o movimento do carro.

Já que ele está se movendo com velocidade constante de 100   k m / h , isso quer dizer que essa força F P (força exercida pela pista) está se cancelando exatamente com a força de 500   N do arrasto do ar:

F P = 500

Como F P é uma força de atrito estático:

μ e s t N = 500

E a normal N é igual ao peso do carro, já que se trata de uma pista horizontal:

μ e s t = 500 m g

μ e s t = 500 ( 2000 ) ( 9,81 ) = 0,0255

Passo 2

(b) Agora o carro vai percorrer uma trajetória circular, então vamos fazer um esquema para ilustrar a situação:

Para manter essa trajetória circular, precisamos de uma resultante centrípeta na direção do centro da trajetória:

∑ F c = F P sen ⁡ θ = m v 2 r

E para que o carro viaje com velocidade constante, é preciso que haja equilíbrio na direção da reta tangente ao círculo:

∑ F x = - F a r r + F P cos ⁡ θ = 0

Então ficamos com o seguinte sistema de duas equações:

F P sen ⁡ θ = m v 2 r F P cos ⁡ θ = F a r r

Passo 3

Queremos calcular r no caso em que o ângulo é θ = 45 ° . Vamos dividir a primeira equação pela segunda:

tan ⁡ θ = m v 2 r   F a r r

Onde F a r r = 500   N , m = 2000   k g e v = 100   k m / h (ou 27,8   m / s ), então:

r = m v 2 F a r r tan ⁡ θ

r = 2000 27,8 2 ( 500 ) ( tan ⁡ 45 ° ) = 3,09   k m

E no caso em que θ = 88 ° :

r = 2000 27,8 2 ( 500 ) ( tan ⁡ 88 ° ) ≅ 108   m

Passo 4

E qual o coeficiente de atrito estático necessário para que o carro faça essa curva de raio r = 108   m sem derrapar?

Vamos tomar uma das equações do nosso sistema:

F P sen ⁡ θ = m v 2 r

E reescrever F P = μ e s t N :

μ e s t N sen ⁡ θ = m v 2 r

No caso em que r = 108   m , já sabemos que θ = 88 ° , então:

μ e s t = m v 2 r   N sen ⁡ θ

Como N = m g :

μ e s t = v 2 g r sen ⁡ θ

μ e s t = 27,8 2 ( 9,81 ) ( 108 ) ( sen ⁡ 88 ° ) = ( 0,730 )

Resposta

(a) μ e s t = 0,0255 .

(b) r = 3,09   k m (para θ = 45 ° ) e r = 108   m (para θ = 88 ° ). μ e s t = 0,730 .

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