Enunciado

Você está fazendo um molho pesto para o seu macarrão e usa uma xícara cilíndrica de medição em 10,0 cm de altura, feita de vidro comum β = 2,7 × 10 - 5 ° C - 1 , cheia de azeite de oliva β = 6,8 × 10 - 4 ° C - 1 até uma altura 1,0 mm abaixo do topo da xícara. Inicialmente, a xícara e o azeite estão à temperatura ambiente. Você recebe um telefonema e esquece do azeite de oliva, deixando-o sobre o fogão quente. A xícara e o azeite se aquecem devagar e atingem uma temperatura comum. Em que temperatura o azeite começara a tranbordar da xícara?

Passo 1

E aí galera?!

Aqui, vamos usar a equação da dilatação térmica volumétrica:

∆ V = β V 0 ∆ T

para a expansão de volume do óleo e do copo.

Tanto o volume da xícara e o volume de azeite aumenta quando a temperatura aumenta, mas β é maior para o óleo, portanto expande mais.

Quando o óleo começa a transbordar:

∆ V ó l e o = ∆ V c o p o + 1,00 × 10 - 3   m A

onde A   é a seção transversal da área do copo.

Passo 2

Assim, para encontrarmos a qual temperatura o azeite começara a tranbordar da xícara, fazemos:

∆ V ó l e o = V 0 ó l e i o β ó l e o ∆ T = 9,9   c m A β ó l e o ∆ T

∆ V c o p o = V 0 c o p o β c o p o ∆ T = 10,0   c m A β c o p o ∆ T

Isso implica que:

9,9   c m A β ó l e o ∆ T - 10,0   c m A β c o p o ∆ T + 1,00 × 10 - 3   m A

Passo 3

Dividindo por A , e resolvendo para ∆ T , temos que:

∆ T = 15,5   ° C

Assim,

T 2 = T 1 + ∆ T = 37,5   ° C

Se a expansão do copo for negligenciada, o azeite terá se expandido para encher o copo quando:

0,100   c m A = 9,9   c m A β ó l e o ∆ T

Então,

∆ T = 15,0   ° C

E

T 2 = 37,0   ° C

Nosso resultado é um pouco maior que isso. A xícara também se expande, mas não muito, desde que:

β c o p o ≪ β ó l e o

Resposta

∆ T = 15,5   ° C

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