Você liga uma bateria, um resistor e um capacitor conforme indicado na Figura 26.20a, em que , e . A chave S está fechada em t 0. (a) Quando a voltagem através do capacitor é igual a, qual é o módulo da corrente no circuito? (b) Em que instante t após o fechamento da chave a voltagem através do capacitor é igual a ? (c) Quando a voltagem através do capacitor é igual a, a que velocidade a energia está sendo armazenada no capacitor?
Passo 1
E aiii galera!
Tudo bom com vocês?
Vamos fazer mais uma questãozinha?
Quando S está fechado, a carga começa a fluir e carregar o capacitor até a diferença de potencial através do capacitor ser igual à fem da bateria.
Vamos precisar lembrar das relações:
Além disso, pelo enunciado, temos que:
Com essas informações, vamos partir para o ataque!
Passo 2
Na letra (a), vamos aplicar a lei das malhas. Dessa forma, temos:
Então, a corrente que percorre o circuito, pela configuração em série do capacitor e do resistor, é a mesma corrente que percorre a resistência. Ou seja, temos:
Substituindo os valores, temos:
A corrente no resistor é de:
Vamos deixar na forma de fração para ver se podemos simplificar as contas futuramente. Para obter um valor aproximado, basta dividir a conta. A corrente será, aproximadamente:
Passo 3
Para a letra (b), temos que lembrar da tensão do capacitor. Ela varia exponencialmente com o tempo, de acordo com a seguinte expressão:
Onde o valor é chamado de constante de tempo do circuito. Podemos adotar o seguinte:
Um bizu importante: A exponencial é sempre adimensional. Como temos , nossa constante de tempo precisa estar na medida de tempo! Ou seja o produto tem dimensão de segundos! (Isso se as unidades estiverem certinhas, com a resistência em Ohm e a capacitância em Faraday!)
Com isso, a expressão fica:
Nossa constante de tempo é:
Vamos analisar agora a expressão para o potencial. Teremos o seguinte:
Simplificando, fica:
Reorganizando:
Simplificando:
Aplicando dos dois lados da equação, temos:
Aplicando as regras de logarítimo, temos:
Com isso, ficamos, finalmente com:
Substituindo os valores, temos que:
O tempo é de:
Passo 4
Na letra (c), temos que determinar a velocidade que a energia está sendo armazenada no capacitor. Essa frase lembra muito uma taxa, não lembra? Justamente por que a velocidade de armazenamento leva em consideração a taxa temporal de variação de energia. Ou, como gostamos de falar, a potência que a energia está sendo transformada! Dessa forma, temos:
Mas nossa energia potencial é justamente:
Que é a energia armazenada em um capacitor! Então, temos:
Aplicando a derivada temporal, teremos
Olha que interessante o que vai aparecer pra gente: Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando, temos:
Se a gente reparar bem, podemos lembrar das relações de corrente elétrica e também das relações de capacitores e observar que:
Ou seja:
Além disso:
Substituindo essas informações, temos que:
Que é justamente a potência elétrica de um circuito elétrico! Agora, substituindo os valores, teremos:
Simplificando, temos:
Infelizmente não temos como simplificar mais essa expressão. Fazendo as contas, temos: