Você liga uma bateria, um resistor e um capacitor conforme indicado na Figura 26.20a, em que ε = 36,0   V , C = 5,00   μ F e R = 120   Ω . A chave S está fechada em t 0. (a) Quando a voltagem através do capacitor é igual a   8,00   V , qual é o módulo da corrente no circuito? (b) Em que instante t após o fechamento da chave a voltagem através do capacitor é igual a 8,00   V ? (c) Quando a voltagem através do capacitor é igual a   8,00   V , a que velocidade a energia está sendo armazenada no capacitor?

Passo 1

E aiii galera!

Tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha?

Quando S está fechado, a carga começa a fluir e carregar o capacitor até a diferença de potencial através do capacitor ser igual à fem da bateria.

Vamos precisar lembrar das relações:

V R = R I

V C = ε 1 - e - t R C

U C = Q 2 2 C

Além disso, pelo enunciado, temos que:

R = 120   Ω

C = 5 × 10 - 6   F

ε = 36   V

Com essas informações, vamos partir para o ataque!

Passo 2

Na letra (a), vamos aplicar a lei das malhas. Dessa forma, temos:

V c + V R = ε

Então, a corrente que percorre o circuito, pela configuração em série do capacitor e do resistor, é a mesma corrente que percorre a resistência. Ou seja, temos:

I = ε - V c   R

Substituindo os valores, temos:

I = 36 - 8 120

A corrente no resistor é de:

I = 28 120 = 7 30 A

Vamos deixar na forma de fração para ver se podemos simplificar as contas futuramente. Para obter um valor aproximado, basta dividir a conta. A corrente será, aproximadamente:

I ≈ 0,233   A

Passo 3

Para a letra (b), temos que lembrar da tensão do capacitor. Ela varia exponencialmente com o tempo, de acordo com a seguinte expressão:

V C = ε 1 - e - t R C

Onde o valor R C é chamado de constante de tempo do circuito. Podemos adotar o seguinte:

τ = R C

Um bizu importante: A exponencial é sempre adimensional. Como temos t / R C , nossa constante de tempo precisa estar na medida de tempo! Ou seja o produto R C tem dimensão de segundos! (Isso se as unidades estiverem certinhas, com a resistência em Ohm e a capacitância em Faraday!)

Com isso, a expressão fica:

V c t = ε 1 - e - t τ

Nossa constante de tempo é:

τ = 120 ⋅ 5 × 10 - 6

τ = 6 × 10 - 4   s

Vamos analisar agora a expressão para o potencial. Teremos o seguinte:

8 = 36 1 - e - t τ

1 - e - t τ = 2 9

Simplificando, fica:

e - t   τ   = 1 - 2 9 = 7 9

Reorganizando:

1 e t τ = 7 9

Simplificando:

e t τ = 9 7

Aplicando l n dos dois lados da equação, temos:

ln ⁡ e t τ = ln ⁡ 9 7  

Aplicando as regras de logarítimo, temos:

t τ = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 7

Com isso, ficamos, finalmente com:

t = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 7 ⋅ τ

Substituindo os valores, temos que:

t ≈ 0,251 ⋅ 6 × 10 - 4

O tempo é de:

t ≈ 1,506 × 10 - 4 s ≈ 151   μ s

Passo 4

Na letra (c), temos que determinar a velocidade que a energia está sendo armazenada no capacitor. Essa frase lembra muito uma taxa, não lembra? Justamente por que a velocidade de armazenamento leva em consideração a taxa temporal de variação de energia. Ou, como gostamos de falar, a potência que a energia está sendo transformada! Dessa forma, temos:

P = d U d t

Mas nossa energia potencial é justamente:

U c = Q 2 2 C

Que é a energia armazenada em um capacitor! Então, temos:

P C = d U C d t

Aplicando a derivada temporal, teremos

d U c d t = d d t Q 2 2 C

Olha que interessante o que vai aparecer pra gente: Aplicando a regra da cadeia, temos:

d U c d t = 2 Q 2 C ⋅ d Q d t

Simplificando, temos:

d U c d t = Q C ⋅ d Q d t

Se a gente reparar bem, podemos lembrar das relações de corrente elétrica e também das relações de capacitores e observar que:

Q = C ⋅ V

Ou seja:

Q C = V

Além disso:

d Q d t = I

Substituindo essas informações, temos que:

d U c d t = V ⋅ I

Que é justamente a potência elétrica de um circuito elétrico! Agora, substituindo os valores, teremos:

P = 8 ⋅ 7 30

Simplificando, temos:

P = 28 15

Infelizmente não temos como simplificar mais essa expressão. Fazendo as contas, temos:

P ≈ 1,87   W

Resposta

  1. I ≈ 0 , 233   A
  2. t ≈ 151   μ s
  3. P ≈ 1 , 87   W
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