Enunciado

Você mora em uma rua movimentada. Porém, como amante da música, você deseja reduzir o ruído do trânsito. (a) Se você instalar janelas especiais que refletem o som e reduzem o nível da intensidade sonora (em dB) em 30 dB, por qual fração você terá reduzido a intensidade do som (em W /m2)? (b) Se, em vez disso, você reduzisse a intensidade pela metade, que variação (em dB) você causaria no nível da intensidade sonora?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Neste exercício utilizaremos nossos conhecimentos sobre ondas sonoras, expostos no capítulo 16, para calcular uma redução de ruído externo.

(a) Neste item, vamos considerar que janelas especiais que refletem o som e reduzem o nível de intensidade sonora em 30 dB foram instaladas. Queremos saber qual a fração de redução da intensidade do som em W/m² é obtida.

Passo 2

Sabemos que a expressão do nível de intensidade sonora (em d B ) é dada por:

β = 10 log ⁡ I I 0

Vamos considerar para essa expressão acima, que ainda não há a diminuição do ruído. Portanto β é o nível de intensidade sonora do trânsito e I é a intensidade sonora do trânsito.

E do enunciado sabemos que β ' = β - 30 , afinal o novo nível de intensidade sonora com a aplicação da janela que diminui o ruído é igual ao nível sonoro “normal” menos 30 decibeis.

Repara que podemos dizer então que:

β ' = 10 log ⁡ I ' I 0

Onde esse I ' é a intensidade do som já com a redução.

A questão pede para encontrarmos qual será a fração de redução entre I ' e I , ou seja,

I ' I =   ?

Agora só precisamos trabalhar com as equações:

β ' = 10 log ⁡ I ' I 0

E podemos abrir β ' = β - 30 , portanto:

β - 30 = 10 log ⁡ I ' I 0

E sabemos que β = 10 log ⁡ I I 0 , portanto:

10 log ⁡ I I 0 - 30 = 10 log ⁡ I ' I 0

log ⁡ I I 0 - 3 = log ⁡ I ' I 0

Podemos aplicar aqui que o log da divisão é a subtração de logaritmos, logo:

log ⁡ I - l o g I 0 - 3 = log ⁡ I ' - l o g I 0

Portanto podemos cortar - l o g I 0 que está dos dois lados da equação:

log ⁡ I - 3 = l o g I '

E por fim deixar os logaritmos juntos:

log ⁡ I - l o g I ' = 3

Podemos aplicar novamente que a subtração de logaritmos é o log da divisão:

log ⁡ I I ' = 3

E para retirar o log, aplicaremos a exponencial dos dois lados:

e log ⁡ I I ' = e 3

I I ' = e 3 = 20,1

No entanto, queremos saber por qual fração foi reduzido I ao se tornar I ' , e para isso, queremos o inverso da fração que encontramos:

I ' I = e - 3 = 1 20,1

Passo 3

(b) Neste item, levaremos em conta que as janelas refletem a intensidade pela metade, portanto teremos aqui que:

I ' = I 2

E agora queremos saber qual será a variação em decibéis, portanto queremos Δ β = β ' - β

E aplicando a fórmula do decibel, teremos:

β = 10 log ⁡ I I 0

Logo,

Δ β = 10 log ⁡ I ' I 0 - 10 log ⁡ I I 0

E substituindo I ' = I / 2 , teremos:

= 10 log ⁡ I 2 I 0 - 10 log ⁡ I I 0

E fazendo o esquema da divisão ser a substração de log’s.

= 10 log ⁡ I - 10 log ⁡ 2 I 0 - 10 log ⁡ I - 10 l o g I 0

= 10 log ⁡ I - 10 log ⁡ 2 I 0 - 10 log ⁡ I + 10 l o g I 0

E agora, podemos fazer que a multiplicação no logaritmo é a soma de logaritmos, e teremos assim:

= 10 log ⁡ I - 10 log ⁡ 2 + 10 log ⁡ I 0 - 10 log ⁡ I + 10 log ⁡ I 0

= 10 log ⁡ I - 10 log ⁡ 2 - 10 log ⁡ I 0 - 10 log ⁡ I - 10 log ⁡ I 0

Agora é só cortar tudo, e teremos:

Δ β = - 10 l o g 2

Δ β = - 6,93 d B

Resposta

I ' I = e - 3 = 1 20,1

b)

Δ β = - 6,93 d B

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