Enunciado

Você recebe uma régua de um metro e é instruído a perfurá-la com um furo de pequeno diâmetro, de modo que, ao suspendê-la por esse furo de um eixo horizontal, o período do pêndulo seja mínimo. Onde você deve fazer o furo.

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o período de um pêndulo físico:

T = 2 π   I m g D

No caso de uma régua de comprimento L , o momento de inércia é dado pela seguinte expressão:

I = 1 12 m L 2

Mas isso no caso em que tomamos um eixo que passa pelo centro de massa da régua. Se escolhermos um eixo a uma distância x do centro de massa, temos que usar o teorema dos eixos paralelos para reescrever o momento de inércia:

I = 1 12 m L 2 + m x 2

Passo 2

Vamos substituir isso na expressão para o período do pêndulo físico:

T = 2 π   1 12 m L 2 + m x 2 m g x

Onde também substituímos D pela nossa variável x , já que ele representa justamente a distância entre o nosso eixo de rotação e o centro de massa. Vamos simplificar um pouco essa expressão:

T = 2 π g   L 2 + 12 x 2 12 x

E agora queremos achar o valor de x para o qual T é mínimo, então precisamos procurar os extremos da função T ( x ) :

d d x T x = 0

E para calcular essa derivada precisaremos usar a regra da cadeia

d d x L 2 + 12 x 2 12 x = 1 2 L 2 + 12 x 2 12 x d d x L 2 + 12 x 2 12 x

Como vamos igualar essa derivada a zero, todo esse termo no denominador vai sumir, e podemos nos preocupar só com a outra derivada:

1 12 d d x L 2 + 12 x 2 x = 1 12     24 x 2 - L 2 - 12 x 2 x 2 = 12 x 2 - L 2 12 x 2

E então:

d d x T x = 12 x 2 - L 2 12 x 2

12 x 2 - L 2 12 x 2 = 0

12 x 2 = L 2

E como só a raiz positiva tem significado físico nesse caso:

x = L 12

Passo 3

E como o comprimento da régua é L = 1,0   m :

x = L 12 = 1,0 12 = 0,289   m

Lembrando que x é a distância do furo até o centro de massa da régua.

Resposta

O furo deve ser colocado a 0,289   m do centro de massa da régua.

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