Enunciado

Você tem um arame uniforme e fino dobrado em um arco circular, que é descrito por um raio R e um ângulo θ m (veja a figura). Mostre que a localização do centro de massa do é sobre o eixo x , a uma distância x c m = R sen ⁡ θ m θ m , onde θ m é expresso é radianos. Verifique sua resposta mostrando que ela dá o limite fisicamente esperado para θ m = 180 ° . Verifique que a sua resposta dá o resultado previsto pelo livro (na subseção “Encontrando o Centro de Massa por Integração”) para o caso especial em que θ m = 90 ° .

Passo 1

Vamos chamar de λ a densidade linear do arame. Então a fórmula para a coordenada x c m do centro de massa é:

x c m = ∫ x d m ∫ d m

d m = λ   d s = λ   R d θ

Como podemos escrever a coordenada x em função de θ e R ?

x = R cos ⁡ θ

Então:

x c m = ∫ R cos ⁡ θ λ R   d θ ∫ λ R   d θ

Onde R e λ são constantes:

x c m = ∫ R cos ⁡ θ   d θ ∫ d θ

Passo 2

E o ângulo θ vai variar de - θ m e θ m :

x c m = R ∫ - θ m θ m cos ⁡ θ   d θ ∫ - θ m θ m   d θ

A integral de cima dá o seguinte:

∫ - θ m θ m cos ⁡ θ   d θ = sen ⁡ θ m - sen ⁡ - θ m

E lembrando que sen ⁡ ( - x ) = - sen ⁡ x :

∫ - θ m θ m cos ⁡ θ   d θ = 2 sen ⁡ θ m

E a integral de baixo:

∫ - θ m θ m   d θ = 2 θ m

Então:

x c m = R 2 sen ⁡ θ m 2 θ m = R sen ⁡ θ m θ m

E por simetria podemos dizer que y c m = 0 . (O sistema é simétrico em relação ao eixo x ).

Passo 3

Vamos analisar o caso em que θ m = 180 ° , mas lembrando de expressar em radianos:

180 ° = π   r a d

x c m = R sen ⁡ π π = 0

Ou seja, nesse caso, a posição do centro de massa é ( 0   ,   0 ) . Isso faz sentido?

Bom, quando θ m = 180 ° , o arame forma um círculo completo, e nesse caso é claro que o centro de massa coincide com o centro geométrico mesmo. Então a resposta faz sentido.

Passo 4

No caso em que θ = 90 ° = π / 2 , então:

x c m = R sen ⁡ π / 2 π / 2 = 2 R π

Que é justamente o resultado que aparece no livro.

Resposta

A localização do centro de massa é dada por R sen ⁡ θ m θ m . No caso em que θ m = 180 ° a posição do centro de massa é ( 0   ,   0 ) , e no caso θ = 90 ° , a posição é 2 R π   ,   0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma força F → = 12Ni ^ é aplicada à bola de 3,0k g na figura do problema 103 . (Nenhuma força age nas outras duas bolas). Qual é a aceleração do centro de massa do sistema de três bolas?Figura do prob
Encontre a localização do centro de massa de uma barra não-uniforme de 0,40m de comprimento se a sua densidade varia linearmente de 1,00g / c m em uma ponta até 5,00g / c m na outra ponta. Especifique
Na máquina de Atwood abaixo a corda passa por cima do cilindro fixo de massa m C . O cilindro não roda. Ao invés disso, a corda desliza sobre a sua superfície sem atrito. (a) Encontre a aceleração do
Um bloco de massa m está preso a uma corda e suspenso dentro de uma caixa de massa M que, em outro caso, estaria vazia. A caixa está sobre uma balança que mede o peso do sistema. (a) Se a corda se rom