Enunciado

A corda G em um violino tem 30,0 cm de comprimento. Quando tocado sem dedilhado, ele vibra em seu modo fundamental a uma frequência de 196 Hz. As próximas notas mais altas em sua escala C-maior são A (220 Hz), B (247 Hz), C (262 Hz) e D (294 Hz). A que distância do final da corda deve ser colocado um dedo para tocar cada uma dessas notas?

Passo 1

Do modo fundamental até a nota D, a frequência aumenta, o que significa que a distância L’ entre o dedo e a extremidade do violino deve ser cada vez menor, essa distância não é a distancia que buscamos, precisamos subtrair ela do comprimento total para conseguir a distância do final da corda até o dedo. Vamos chamar o que buscamos de x:

x = L - L '

Sendo L’, o comprimento para cada uma das notas no violino.

Passo 2

Para o modo fundamental, usaremos o próprio comprimento L, e usaremos a relação com o comprimento de onda:

L = λ 2

λ = 2 L

E pela equação da velocidade: v = λ f

f = v λ = v 2 L

Para o caso de L’, teremos a mesma equação:

f ' = v 2 L '

Lembrando que a velocidade da onda não varia. Fazemos então a razão entre as duas equações:

f ' f = L L '

E então isolamos L’:

L ' = L f f '

Passo 3

Agora vamos adicionar para cada frequência do enunciado um subíndice para L’, e vamos substituir cada frequência na equação acima:

L ' A = 30.0 c m 196 H z 220 H z = 26.73   c m

L ' B = 30.0 c m 196 H z 2 47 H z = 2 3 . 81   c m

L ' C = 30.0 c m 196 H z 262 H z = 2 2 . 44   c m

L ' D = 30.0 c m 196 H z 294 H z = 2 0.00   c m

E agora podemos calcular a distância do final da corda até o dedo para cada comprimento:

x A = 30.0 c m - 26.73 c m = 3.3 c m

x B = 30.0 c m - 2 3.81 c m = 6.2 c m

x C = 30.0 c m - 2 2.44 c m = 7.6 c m

x D = 30.0 c m - 2 0.00 c m = 10 c m

Resposta

x A = 3.3 c m

x B = 6.2 c m

x C = 7.6 c m

x D = 10 c m

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