Enunciado

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Um caminhão carregado de melancias para subitamente para evitar passar sobre a borda de uma ponte destruída (Fig. P3.48). A parada súbita faz que várias melancias voem para fora do caminhão. Uma delas sai do capô do caminhão com velocidade inicial v i   = 10,0   m / s na direção horizontal. Um corte transversal da margem tem a forma da metade inferior da parábola, com seu vértice na localização inicial da melancia projetada, com a equação y 2   =   16 x , em que x e y são medidos em metros. Quais são as coordenadas x e y da melancia quando ela se espatifa na margem?

Passo 1

Então, gente, lembrando que a velocidade horizontal é sempre constante nesses lançamentos, como já vimos ao longo do capítulo, vale a gente escrever o seguinte:

v i = 10   m / s = x t

Onde x vai ser a distância horizontal alcançada pela melancia (o ponto onde ela se espatifa), e t é o tempo de queda da fruta. A situação é mais ou menos essa:

Beleza? Só que a gente sabe a relação entre x e y dada pela equação da parábola, sendo:

y 2   =   16 x

y   =   16 x = 4 x

Então, a gente tira daqui que a distância vertical (pra baixo) atingida pela melancia foi y = 4 x , beleza? Guarda essas infos pra gente usar mais na frente!

Passo 2

Bom, e como dá pra gente achar uma expressão pro tempo t ?

Repara, avaliando agora a trajetória na vertical da melancia, ela cai com velocidade (vertical) nula. E como toda queda é acelerada, o melhor aqui é usar a equação do sorvetão:

S = S 0 + v 0 ∙ t + a ∙ t 2 2

Pro nosso caso, S é a posição vertical final, que pro esquema da parábola que a gente tá avaliando, a gente pode chamar de posição y , portanto S = y = 4 x ;

S 0 é a posição de onde a melancia parte desde a queda, que é dado no enunciado como o vértice da parábola, ou seja, o ponto ( 0 ,   0 ) . Nisso, S 0 = 0 ;

v 0 a gente acabou de ver que vale zero também, e a aceleração é a gravidade, que podemos considerar aqui sendo a = g = 10   m / s 2 .

Beleza, aplicando nossos valores, a gente tem:

4 x = 0 + 0 ∙ t + 10 ∙ t 2 2

4 x = 5 t 2

Passo 3

Legal?

Agora a gente tem duas equações que correlacionam x e t , vamos então trabalhar elas pra determinar nossas incógnitas!

A gente tem:

x = 10 t

E

4 x = 5 t 2

Vamos elevar ambos os lados da equação debaixo ao quadrado, obtendo:

16 x = 25 t 4

Agora, da primeira equação, substituímos x por 10 t e aplicamos na última expressão. Vamos ter:

16 ∙ 10 t = 25 t 4

25 t 4 = 160 t

Simplificamos os fatores t e isolando:

25 t 3 = 160

t 3 = 160 25 = 32 5

∴ t = 32 5 3

Passo 4

Com isso, gente, determinamos x e y :

∴ x = 10 32 5 3   m

E, por fim, y :

y = 4 x = 4 10 32 5 3 =

∴ y = 4 10 ∙ 32 5 6   m

Resposta

x = 10 32 5 3   m e y = 4 10 ∙ 32 5 6   m

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