Enunciado

60 . A nave espacial do Observatório Solar e Heliosférico (Soho) tem uma órbita especial, localizada entre a Terra e o Sol ao longo da linha que os interliga, e está sempre perto o suficiente da Terra para transmitir dados facilmente. Ambos os corpos exercem forças gravitacionais sobre o observatório. A nave move-se em torno do Sol numa órbita quase circular, que é menor do que a órbita circular da Terra. Seu período, no entanto, não é inferior, mas igual a 1 ano. Mostre que sua distância da Terra deve ser 1,48 × 10 9   m . Em 1772, Joseph Louis Lagrange determinou, teoricamente, o local específico, assim permitindo essa órbita. Sugestões: Use dados que são precisos em quatro dígitos. A massa da Terra é de 5,974 × 10 24   k g . Você não será capaz de resolver facilmente a equação que gerará; em vez disso, use um computador para verificar se   1,48 × 10 9   m é o valor correto.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Como o satélite realiza uma órbita circular em torno do Sol, a força resultante sobre ele é igual a força centrípeta.

Mas segundo o enunciado tanto o Sol quanto a Terra realizam força gravitacional no satélite, assim:

m v 2 r s = G M S m r s 2 - G M T m d 2

Onde r s é o raio da órbita do satélite que é igual a ao raio da órbita da Terra menos a distância d entre o satélite e a Terra que estamos queremos saber.

Passo 2

Então temos o seguinte:

m v 2 ( r T - d ) = G M S m r T - d 2 - G M T m d 2

⇒ v 2 ( r T - d ) = G M S r T - d 2 - G M T d 2

Agora vamos usar o fato de que para um movimento circular temos que:

v = 2 π r T

No nosso caso teremos r = r s = r T - d , com isso temos que:

1 r T - d 2 π ( r T - d ) T 2 = G M S r T - d 2 - G M T d 2

⇒ 4 π 2 r T - d T 2 = G M S r T - d 2 - M T d 2

Onde nesse caso T é o período da órbita do satélite em torno do Sol.

Passo 3

Temos os seguintes valores para os parâmetros:

r T = 1,496 × 10 11

T = 3,156 × 10 7

G = 6,67 × 10 - 11

M S = 1,989 × 10 30

M T = 5,974 × 10 24

Agora para confirmar que d = 1,48 × 10 9 , vamos substituir ele na expressão que encontramos junto com os outros parâmetros e ver se a gente consegue mostrar que os dois lados são iguais.

Temos:

4 π 2 1,496 × 10 11 - 1,48 × 10 9 3,156 × 10 7 2 =

= 6,67 × 10 - 11 1,989 × 10 30 1,496 × 10 11 - 1,48 × 10 9 2 - 5,974 × 10 24 1,48 × 10 9 2

⇒ 0,00587 = 6,67 × 10 - 11 ( 87930903,63 )

Temos então que:

0,00587 ≈ 0,00 5865

Como os resultados são bem próximos a distância d = 1,48 × 10 9   m serve para a situação.

Resposta

Demonstrado acima.

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