Enunciado

46 . Muitas pessoas acreditam que a resistência do ar, agindo sobre um corpo em movimento, sempre irá torná-lo mais lento. Ela pode, no entanto, ser responsável por torná-lo mais rápido. Considere um satélite da Terra de 100   k g em uma órbita circular a uma altura de 200   k m . Uma pequena força de resistência do ar faz que o satélite caia em uma órbita circular a uma altitude de 100   k m . ( a ) Calcule a velocidade inicial do satélite. ( b ) Calcule sua velocidade final nesse processo. ( c ) Calcule a energia inicial do sistema Terra-satélite. ( d ) Calcule a energia final do sistema. ( e ) Mostre que o sistema perdeu energia mecânica e encontre o valor da perda por causa do atrito. ( f ) Que força faz aumentar a velocidade do satélite? Dica: um diagrama de corpo livre será útil para explicar sua resposta.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Para esse problema vamos usar o fato de que em órbita circular a força resultante que atua nela deve ser igual a força centrípeta.

No caso do nosso problema a força resultante é a força gravitacional, assim temos que:

m v t 2 r = G M m r 2

Isolando a velocidade vamos poder calcular a velocidade nas duas órbitas circulares que é pedido em ( a ) e ( b ) .

Agora para achar a energia Terra satélite pedida em ( c ) basta usarmos a seguinte equação:

E = - G M m 2 r

Vamos usar a mesma equação para achar a energia final pedida em ( d ) . Agora para mostrar que o sistema perdeu energia (item ( e ) ) vamos fazer a diferença entre as energias que encontramos em ( c ) e em ( d ) .

E por último vamos analisar qual força faz aumentar a velocidade do satélite pedido em ( f ) .

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos o seguinte:

m v t 2 r = G M m r 2

⇒ v t = G M r

A constante G é igual a 6,674 × 10 - 11   m 3 / ( k g ⋅ s 2 ) , e a massa da Terra M = 5,972 × 10 24   k g e r vai ser igual ao raio da Terra mais a distância do satélite em relação a superfície da Terra, que nesse caso é 200 × 10 3   m , então:

r = 6 , 37 × 10 6   m + 200 × 10 3   m = 6 , 5 7 × 10 6   m

Com isso temos que:

v t = ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,972 × 10 24 ) 6,57 × 10 6

⇒ v t = 7788,8   m / s

Passo 3

Agora para o item ( b ) .

Temos o seguinte:

⇒ v t = G M r

Nesse caso a distância entre o satélite e a superfície da Terra é de 1 00 × 10 3   m , então:

r = 6,37 × 10 6   m + 1 00 × 10 3   m = 6 , 4 7 × 10 6   m

Com isso temos que:

v t = ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,972 × 10 24 ) 6 , 4 7 × 10 6

⇒ v t = 784 8,8   m / s

Passo 4

Vamos para o item ( c ) .

Temos que a energia é dada por:

E = - G M m 2 r

Nesse caso teremos o r = 6,57 × 10 6   m , já que é antes da mudança de orbita, substituindo os valores, temos:

E = - ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,972 × 10 24 ) ( 100 ) 2 ( 6,57 × 10 6 )

= 3,98 × 10 16 13,14 × 10 6

Assim temos que:

E = - 3,03 × 10 9   J

Passo 5

Vamos para o item ( d ) .

Temos que a energia final é dada por:

E = - G M m 2 r

Nesse caso teremos o r = 6 , 4 7 × 10 6   m , já que é antes da mudança de orbita, substituindo os valores, temos:

E = - ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,972 × 10 24 ) ( 100 ) 2 ( 6 , 4 7 × 10 6 )

= 3,98 × 10 16 1 2,94 × 10 6

Assim temos que:

E = - 3,0 8 × 10 9   J

Passo 6

Vamos para o item ( e ) .

Agora vamos fazer a diferença entre as energias para mostrar eu o sistema perdeu energia, assim:

Δ E = E f - E i = - 3,08 × 10 9 - ( - 3,03 × 10 9 )

⇒ Δ E = - 5 × 10 7   J

Como a variação de energia é negativa quer dizer que o sistema perdeu energia, já que a energia final é menor que a inicial.

Passo 7

Por último a letra ( f ) .

Nós já vimos que tem uma força gravitacional agindo no satélite e a resistência dor que faz com que ele mude órbita, mas ela é pequena então não nos interessa muito.

A força gravitacional em princípio faz o papel de força centrípeta no satélite e força centrípeta não altera a velocidade tangencial a órbita, já que ele é perpendicular a trajetória.

Só que no momento da mudança essa força deixa de ser perpendicular a trajetória por um tempo fazendo com que haja um acréscimo de velocidade, então a velocidade do satélite acaba aumentando por conta dessa força.

Resposta

( a )

v t = 7788,8   m / s

( b )

v t = 7848,8   m / s

( c )

E = - 3,03 × 10 9   J

( d )

E = - 3,08 × 10 9   J

( e )

Δ E = - 5 × 10 7   J

( f )

A força gravitacional.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, dois satélites, A e B , ambos de massa m = 125k g , ocupam a mesma órbita circular de raio r = 7,87.10 6m em torno da Terra e se movem em sentidos opostos, estando, portanto, em rota de col
(a) A que distância da superfície da Terra a energia necessária para fazer um satélite subir até essa altitude é igual à energia cinética necessária para que o satélite se mantenha em órbita circular
Dois satélites, A e B , ambos de massa m , estão em órbita circular em torno da Terra. O satélite A orbita a uma altitude de 6370k m e o satélite B a uma altitude de 19.110k m . O raio da Terra é 6370
Uma certa estrela de nêutrons tem uma massa igual à do Sol e um raio de 10k m . (a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície da estrela? (b) Com que velocidade um objeto estaria se movendo se ca
A figura abaixo é um gráfico da energia cinética K de um asteroide que cai em linha reta em direção ao centro da Terra, em função da distância r entre o asteroide e o centro da Terra. (a) Qual é a mas