Enunciado

54 . Astrônomos detectam um meteoroide distante movendo-se ao longo de uma linha reta que, se prolongada, passaria a uma distância de 3 R T   do centro da Terra, em que R T é o raio dessa. Qual é a velocidade mínima que o meteoroide deve ter se não for a colidir com a Terra?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrarmos a velocidade mínima que esse problema quer vamos usar duas coisas ao nosso favor, a conservação do momento angular e a conservação de energia.

Da conservação do momento angular vamos poder tirar uma relação entre a velocidade final do meteoro e a velocidade final caso ele colida com a Terra. Lembrando que o momento angular é dado por:

L = m r v

Depois vamos usar a conservação de energia para encontrarmos a velocidade inicial. Inicialmente só temos energia cinética já que o meteoro está muito distante da Terra, logo a energia potencial gravitacional pode ser desprezada.

E o instante final vai ser quando o meteoro supostamente iria colidir com a Terra, então a distância entre eles seria igual ao raio da Terra.

Estamos considerando o caso do meteoro colidindo com a Terra, porque essa vai ser a velocidade mínima que ele deve ter, qualquer velocidade maior que essa ele não colide e qualquer velocidade menor ele irá colidir.

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos fazer primeiro a conservação do momento angular, temos:

m r i v i = m r f v f

⇒ m 3 R T v i = m R T v f

⇒ v f = 3 v i

Passo 3

Agora vamos para a conservação de energia, temos o seguinte:

1 2 m v i 2 = 1 2 m v f 2 - G M m R T

Usando o que temos para a velocidade final, temos:

1 2 m v i 2 = 9 2 m v i 2 - G M m R T

⇒ v i 2 = 9 v i 2 - 2 G M R T

⇒ 8 v i 2 = 2 G M R T

Então temos que:

v i = G M 4 R T

Passo 4

Agora usando os valores para massa da Terra, o seu raio e G , temos:

v i = ( 6,67 × 10 - 11 ) ( 5,972 × 10 24 ) 4 ( 6,371 × 10 6 )

= 3,98 × 10 14 2,55 × 10 7

Assim temos que:

v i = 3,95 × 10 3   m / s

Prontinho, questão finalizada com sucesso!

Resposta

v i = 3,95 × 10 3   m / s

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