Enunciado

61 . Pósitron é a antipartícula do elétron. Tem a mesma massa e uma carga elétrica positiva de mesmo módulo que a do elétron. Positrônio é um átomo tipo hidrogênio, consistindo em um pósitron e um elétron girando em torno de si. Usando o modelo de Bohr, encontre ( a ) as distâncias permitidas entre as duas partículas e ( b ) as energias permitidas do sistema.

Passo 1

Vamos juntos resolver esse problema? Então vem!

As partículas orbitam em torno de um eixo e elas sempre estão separadas por uma distância d , já que a órbita é circular, então cada uma delas tem um momento angular.

O momento angular pode ser calculado usando a seguinte expressão:

L = m r v

As duas partículas vão ter momento angular igual já que tem a mesma massa e orbitam com a mesma velocidade, assim:

L 1 = m v d 2

L 2 = m v d 2

Então o momento angular total é dado por:

L = L 1 + L 2 = m v d

Passo 2

Segundo Bohr o momento angular também pode ser dado por:

L = n ℏ

Igualando as duas expressões para o momento angular, temos:

m v d = n ℏ

⇒ v = n ℏ m d

Passo 3

Outro detalhe é que cada uma das partículas produz uma força elétrica na outra que faz o papel de força centrípeta para o movimento circular. A força elétrica em uma das partículas é dada por:

F e = k e 2 d 2

Então temos que:

k e 2 d 2 = m v 2 d / 2

Isolando v 2 , temos:

v 2 = k e 2 2 m d

Agora elevando a expressão que chegamos no passo 1 ao quadrado e igualando com essa, temos:

k e 2 2 m d = n 2 ℏ 2 m 2 d 2

Agora podemos isolar d , temos:

d = 2 n 2 ℏ 2 k e 2 m

Usando a definição de raio de Bohr, a 0 = ℏ 2 k e 2 m , temos que:

d n = 2 a 0 n 2

Essas são as distâncias permitidas.

Passo 4

Agora vamos atrás das energias permitidas.

A energia total do sistema vai ser dada pela energia cinética de cada partícula, mais a energia potencial elétrica entre elas, assim:

E = 1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 - k e 2 d

= m v 2 - k e 2 d

Usando a expressão que encontramos para v 2 , teremos:

E = m k e 2 2 m d - k e 2 d

E = - k e 2 2 d

Agora substituindo a expressão para d que encontramos, ficamos com:

E = - k e 2 4 a 0 n 2

Usando que:

k = 8,987 × 10 9

e = 1,602 × 10 - 19

a 0 = 5,292 × 10 - 11

Teremos que:

E = - 1,09 × 10 - 18   J n 2

Passando de J para e V , teremos que:

E n = - 6,8   e V n 2

Esses são os níveis de energia permitidos. Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

d n = 2 a 0 n 2

( b )

E n = - 6,8   e V n 2

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