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Exercícios Resolvidos de Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade

Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - 5.Problemas - 59

Uma única conta com atrito desprezível em um fio retesado foi curvada em um loop circular de raio 15,0   c m , como mostrado na Figura P5.59. O círculo sempre está em um plano vertical e gira regularmente sobre seu diâmetro vertical com um período de 0,450   s . A posição da conta é descrita pelo ângulo q que a linha radial, do centro do loop até a conta, faz com a vertical.

  1. Em que ângulo acima da parte inferior do círculo a conta pode ficar sem movimento com relação ao círculo girando?
  2. E se? Repita o problema, desta vez considerando o período da rotação do círculo como 0,850   s .
  3. Descreva como a solução para a parte (b) é diferente daquela para a parte (a).
  4. Para qualquer período ou tamanho de loop há sempre um ângulo no qual a conta pode ficar imóvel em relação ao loop?
  5. Há mais de dois ângulos em algum momento? Arnold Arons deu a ideia para este problema.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo e bora!

Letra a:

Seja R o raio do arco e T o período de sua rotação. A conta move-se em um círculo com raio   v = R s i n ⁡ θ em uma velocidade de:

v = 2 π r T = 2 π Rsin ⁡ θ T

A força normal tem uma componente radial para dentro de n s i n ⁡ θ e um componente para cima de n c o s ⁡ θ :

∑ F y = m a y :         ncos ⁡ θ - m g = 0

n = m g cos ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então ∑ F x = n s i n ⁡ θ = m v 2 r se torna:

m g cos ⁡ θ sin ⁡ θ = m Rsin ⁡ θ 2 π Rsin ⁡ θ T 2

gsin ⁡ θ cos ⁡ θ = 4 π 2 Rsin ⁡ θ T 2

Temos duas soluções:

sin ⁡ θ = 0 ⇒ θ = 0 ∘                       1

E

cos ⁡ θ = g T 2 4 π 2 R                         ( 2 )

Se R = 15.0 c m   e  T = 0.450 s a segunda solução nos dá:

cos ⁡ θ = 9.80 m s 2 ( 0.450 s ) 2 4 π 2 0.150 m = 0.33

  θ = 70.4 ∘

Assim, neste caso, a conta pode andar em duas posições:

θ = 70.4

θ = 0 ∘

Passo 3

Letra b:

Nesta rotação mais lenta, a solução [2] acima torna-se:

cos ⁡ θ = 9.80 m s 2 ( 0.850 s ) 2 4 π 2 0.150 m = 1.20

Que é impossível.

Passo 4

Letra c:

Existe apenas uma solução para (b) porque o período é muito grande.

Passo 5

Letra d:

A equação que o ângulo deve satisfazer tem duas soluções sempre que 4 π 2 R > g T 2 , mas apenas a solução 0° caso contrário. A rotação do loop deve ser mais rápida do que um certo valor limite para que a conta se afaste da posição mais baixa. Zero é sempre uma solução para o ângulo.

Passo 6

Letra e:

A partir da derivação da solução em (a), nunca há mais do que duas soluções.

Resposta

  1. θ = 70.4 e θ = 0 ∘
  2. 1.20 , impossível.
  3. Existe apenas uma solução para (b) porque o período é muito grande.
  4. A equação que o ângulo deve satisfazer tem duas soluções sempre que 4 π 2 R > g T 2 , mas apenas a solução 0° caso contrário. A rotação do loop deve ser mais rápida do que um certo valor limite para que a conta se afaste da posição mais baixa. Zero é sempre uma solução para o ângulo.
  5. A partir da derivação da solução em (a), nunca há mais do que duas soluções.

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